4.2 用数学归纳法证明不等式举例学习目标1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n>1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数)． 3．了解n 为实数时贝努利不等式也成立. 一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究 思考探究在应用贝努利不等式时应注意什么？名师点拨：1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解 当指数n 推广到任意实数α时，x >－1时， ①若0<α<1，则(1＋x )α≤1＋αx . ②若α<0或α>1，则(1＋x )α≥1＋αx . 当且仅当x ＝0时等号成立．2．贝努利不等式的应用贝努利不等式：如果x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数，那么有(1＋x )n>1＋nx . 推论：当x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为不小于2的正整数时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x n>1－nx1＋x .3．数学归纳法与其他方法的联系数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证n ＝k ＋1命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等．4．用数学归纳法证明不等式时常用技巧用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值n 0的定位，要弄清楚n ＝k 和n ＝k ＋1时的结论是什么，要有目标意识，紧盯n ＝k ＋1时的目标，对n ＝k ＋1时的结论进行一系列的变化，变化的目标就是n ＝k ＋1时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论”．常用放缩法做辅助手段．【例1】 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N )．【变式训练1】 用数学归纳法证明： 1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2，n ∈N )．【例2】 求证：当n ≥1(n ∈N )时，(1＋2＋…＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ≥n 2.【变式训练2】 求证：1＋12＋13＋…＋1n ≥2nn ＋1(n ∈N ＋)【例3】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b n ，(其中a >0，且a ≠1)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．【变式训练3】 在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.参考答案提示 在应用贝努利不等式时要注意应用条件x >－1，且x ≠0.【例1】 【分析】 本题由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程中，n ＝k 时，首项是1k ＋1，尾项是13k ，分母是从k ＋1开始的连续正整数，因而当n ＝k ＋1时，首项应为1k ＋2，尾项是13k ＋1，与n ＝k 时比较，13k 后面增加13k ＋1，13k ＋2，13k ＋3共三项，而不只是增加13k ＋1一项，且还减少了一项1k ＋1. 【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>56，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，n ∈N)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋3＋13k ＋3＋13k ＋3－1k ＋1＝56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33k ＋1－1k ＋1＝56. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)，知原不等式对一切n ≥2的自然数都成立．【变式训练1】证明 (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N)时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k ， 则n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12<2－1k＋1k ＋12<2－1k ＋1kk ＋1＝2－1k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝2－1k ＋1，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n ≥2(n ∈N)时均成立．【例2】【分析】 本例中不等式左边是两项的积，而且含有等号，第一步需验证n ＝1和n ＝2时不等式成立，第二步推n ＝k ＋1时，为了凑出(k ＋1)2，要恰当的放缩．【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1×1＝1＝右边，不等式成立．当n ＝2时，左边＝(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝92>22，不等式也成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ≥k 2.则当n ＝k ＋1时，有左边＝[(1＋2＋…＋k )＋(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋1k ＋1＝(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋1≥k 2＋k 2＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k .∵当k ≥2时，1＋12＋…＋1k ≥1＋12＝32，(*) ∴左边≥k 2＋k 2＋1＋32(k ＋1)＝k 2＋2k ＋1＋32>(k ＋1)2.这就是说当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，当n ≥1时，原不等式成立．【变式训练2】证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1＝1，左边＝右边．当n ＝2时，左边＝32，右边＝43，∵32>43，∴左边>右边，∴当n ＝1或n ＝2时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k ≥2k k ＋1. 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1≥2k k ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1.∵2k ＋1k ＋1－2k ＋1k ＋1＋1＝k k ＋1k ＋2>0，∴2k ＋1k ＋1>2k ＋1k ＋1＋1＝右边， 由不等式的传递性知，左边>右边． ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)，可得对一切n ∈N ＋不等式都成立．【例3】【解】 (1)设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，10b 1＋1010－12d ＝145⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝3.∴b n ＝3n －2. (2)由b n ＝3n －2知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋14)＋…＋log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋13n －2 ＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋11＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2，而13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1. 于是，比较S n 与13log a b n ＋1的大小即比较(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2与33n ＋1的大小．取n ＝1，有(1＋1)＝38>34＝33×1＋1.取n ＝2，有(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14>38>37＝33×2＋1. 由此猜想：(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2>33n ＋1.(*)下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，已验证(*)成立． ②假设n ＝k (k ≥1)时，(*)成立，即 (1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2>33k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋13k ＋1－2 >33k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1＝3k ＋23k ＋133k ＋1. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋23k ＋133k ＋13－⎝⎛⎭⎫33k ＋43＝3k ＋23－3k ＋43k ＋123k ＋12＝9k ＋43k ＋12>0，∴33k ＋13k ＋1(3k ＋2)>33k ＋4＝33k ＋1＋1.从而(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1>33k ＋1＋1，即当n ＝k ＋1时(*)也成立．由①与②知，(*)对任意正整数n 都成立． 所以，当a >1时，S n >13log a b n ＋1，当0<a <1时，S n <13log a b n ＋1.【变式训练3】分析 本题主要考查数列的概念和性质，数学归纳法及用放缩法证明不等式的数学方法，考查归纳、推理及运算能力．解 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，又a 1＝2，b 1＝4，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可知，结论成立． ②假设n ＝k 时，结论成立， 即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2. 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)．b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以，当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16<512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1＝16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1<16＋14＝512. 综上，原不等式成立．。