2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷（一）
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的定义域为（）
A B C D
2. 已知向量，满足，，且，则＝（）
A B C D
3. 某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，，…，，，从中抽取个样本，下面提供随机数表的第行到第行：
若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号是（）
A B C D
4. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为（）
A B C D
5. 已知在中，角，，的对边分别为，，，若，且
＝，则的面积是（）
A B C 或 D 或
6. 设等差数列的公差为，若＝，则“”是“为递减数列”的（）
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
7. 将三颗骰子各掷一次，设事件＝“三个点数都不相同”，＝“至少出现一个点”，则
＝（）
A B C D
8. 在平行四边形中，，＝，＝，若，分别是边，上的点，且满足，则的最大值为（）
A B C D
二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．
9. 若集合＝，，则正确的结论有（）
A ＝
B
C ＝ D
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A ＝
B
C 是函数的一条对称轴
D 是函数的对称中
心
11. 以下结论中错误的有（）
A 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为＝
B 设，，且，，则
C 若，，，是异面直线，那么与相
交 D 以模型＝去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设＝，将其变换后得到线性方程＝，则，的值分别是和
12. 在平面直角坐标系中，已知曲线的方程是，则下列结论正确的是（）
A 曲线关于对称
B 的最小值为
C 曲线的周长为
D 曲线围成的图形面积为
三、填空题：
13. 已知等比数列满足＝，且＝，则＝________．
14. 设复数（是虚数单位），则
________．
15. 已知双曲线的焦点为，，实轴长为，则双曲线的离心率是
________；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为
________．
16. 已知函数，若＝，则＝________．
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知内接于单位圆，且.
求角；
求面积的最大值．
18. 已知数列的前项和为，，且，
Ⅰ求证：数列为等比数列；
Ⅱ求（表示不超过的最大整数）．
19. 如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若
，，且＝＝．
Ⅰ若，，证明：平面；
Ⅱ若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
20. 已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段
的中点为，为坐标原点．
求的轨迹方程；
当时，求的方程及的面积．
21. 为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会
按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在
内，在以组距为画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现满足
，，．
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分
数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖．
求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；
已知学生和都获奖，记，两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望．
22. 已知函数＝，＝．
（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）当＝时，设，对任意给定的正实数，曲线＝上是否存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．
2020年山东省济宁一中高考数学考前冲刺试卷（一）答案
1. B
2. C
3. A
4. A
5. C
6. C
7. A
8. C
9. A,B
10. A,C,D
11. A,B,C
12. A,B,D
13.
14.
15. ,
16. 或
17. 解：∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ 的外接圆为单位圆，
∴ 其半径.
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
代入数据可得
，
当且仅当时，“”成立.
∴ ，
∴ 的面积，∴ 面积的最大值为：.
18. （I）证明：∵ ，且，
∴ ，
∴ 数列为等比数列，公比与首项都为．
由可得：．
解得：．
数列单调递减，
＝时，，
＝时，，
时，．
∴ ，∴ ＝．
19. （1）证明：连接，，
在梯形中，＝，
∵＝，，
∴ ，
又，∴ ，
∵ 平面，平面，
∴ 平面；
（2）侧面是梯形，∵ ，∴ ，
又，∴ 为二面角的平面角，则，∴ ，均为正三角形，
在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，
不妨设＝，则＝＝，＝＝，
故点，，．
设平面的法向量为，
则有，取，得；设平面的法向量为，
则有，取，得．∴ ，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
20. 解：由圆，
得，
∴ 圆的圆心坐标为，半径为．
设，则，
．
由题意可得：．
即．
整理得：．
∴ 的轨迹方程是．
由知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，由于，
故在线段的垂直平分线上，
又在圆上，
从而．
∵ ，
∴ 直线的斜率为．
∴ 直线的方程为，
即．
则到直线的距离为．
又到的距离为，
∴ ．
∴ ．
21. 根据题意，在内，按组距为可分成个小区间，
分别是，，，，，，
∵ ，由，，
∴ ＝，，，，，，
每个小区间对应的频率值分别是＝．
，解得，
∴ 的对值是，，，，，，．
由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，
由（1）知，学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是：
，
我们用符号（或）表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，
其中＝，
记＝“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”，
则＝
＝
．
学生最终获得一等奖的概率是，
学生最终获得一等奖的概率是，
＝＝，
＝，
＝，
∴ 的分布列为：
．
22. 由＝
得＝因在区间上不是单调函数
所以＝在上最大值大于，最小值小于，
∴
由，得．
∵ ，∴ ，且等号不能同时取，∴ ，即∴ 恒成立，即
令，求导得，，
当时，，，从而，∴ 在上为增函数，∴ ＝，
∴ ．
由条件，，
假设曲线＝上存在两点，满足题意，
则，只能在轴两侧，
不妨设（），则，且．
∵ 是以为直角顶点的直角三角形，
∴ ，
∴ ＝，
是否存在，等价于方程在且时是否有解．
①若时，方程为＝，
化简得＝，此方程无解；
②若时，方程为＝，
即，
设＝，，则＝，
显然，当时，，即在上为增函数，
∴ 的值域为，，即，
∴ 当时，方程总有解．
∴ 对任意给定的正实数，曲线＝上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．。