Fourier分析法（谐波分析法） 先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频
率的简谐激励，然后求出系统对各个频率的简谐激励的响
应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应逐一叠加， 即得到系统对周期激励的响应。
这种对系统响应的分析方法被称为谐波分析法。
任意周期激励的响应
假设系统受到的周期激振力为： F (t ) F (T t )
4 F0
任意周期激励的响应
系统运动方程：
cx kx F (t ) mx
把所有特解叠加起来，就得到系统在周期激振力作 用下的稳态响应：
4F0 x(t ) k
记： Bn
n 1,3,5


1 n[1 (n / 0 ) ]
2
sin(nt )
4 F0 2 n k[1 (n / 0 ) ]
则
线性系统
x1 (t )
F2 (t )
线性系统
x2 (t )
c1F1 (t ) c2 F2 (t )
线性系统
c1 x1 (t ) c2 x2 (t )
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任意周期激励的响应
Fourier变换
周期函数F(t)可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函 数之和。
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n1
任意周期激励的响应
对于
2 F0 2 2cos n bn T n n
当 n 取偶数时：
bn 0 n 2, 4,6

当 n 取奇数时：
1 F (t ) sin nt n1,3,5... n 1 1 (sin t sin t sin 5t ) 3 5 4 F0
Asin Acos sin t cost ky ky
18
谢 谢！
19
F0 cost k
4
任意周期激励的响应
前面各节讨论的强迫振动中，都假设了系统受到的激励为简谐激 励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励。
若激励F(t) 有
F (t ) F (t T )
则F(t)为周期激励， T为周期。
线性系统满足叠加原理
若
F1 (t )
单自由度系统受迫振动
姓 名: 何江波
学 院: 机械工程学院
邮 箱：445875183@
2016/12/18
教学内容
• 简谐力激励的受迫振动
• 任意周期激励的响应
• 瞬态振动
2
任意周期激励的响应
cx kx F0 sin t 振动微分方程：mx
•令：Fc F0 cost i sin t F0 e it
x H ( ) F0
H ( ) 1 k m 2 ic
复频响应函数
(s)
1 (1 s 2 ) 2 (2 s) 2
相位差
2 s ( s ) tan 1 s 2
1
3
任意周期激励的响应
1 i it x xe , x H ( ) F , H ( ) e •已知： c 0 k
其中
2 T a0 T F (t )dt 2 T an F (t ) cos ntdt T 2 T b F (t )sin ntdt n T
频率 ω=2π/T 成为基频，T为F(t)的周期。
6
任意周期激励的响应
Ω 检测轴(y) mx ky my 驱动轴(x)
cx cy kx
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任意周期激励的响应
科氏力的计算公式为：
Ω 检测轴(y) mx ky my 驱动轴(x)
Acos(t ) F 2my x
Ω 为角速度, ω 为驱动轴的驱动频率 求： （1）检测轴的稳态响应
cx cy kx
原理： 通过静电力驱动x轴的质量块(mx)发生周期振动。 在存在角速度(Ω )的情况下，周期振动在检测轴产 生科氏力，科氏力正比于角速度。 科氏力使检测轴的质量块 (my) 发生振动，通过测 量检测轴质量块的振动幅度便可以测量得到角速度。
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n1
前两项积分项均为奇函 数，因而积分均为零，
任意周期激励的响应
F (t ) bn sin nt
n 1
T 2 0

2 T bn F (t ) sin ntdt T
任意周期激励的响应
系统在周期激励下的响应特点：
（1）线性系统在周期激励下的响应仍为周期函数， 且响应周期与激励周期相等。
（2）线性系统在周期激励下的响应波形发生畸变。
（3）无阻尼系统，有：
H (n )
1 1 (n / 0 ) 2
H (n )
当 n / 0 ，有
当基频是自然频率的整数分之一时就可能发生共振。
•则可以得到：
F 1 xc e i F0e it 0 e it k k F0 cost i sin t k
若： F (t ) F0 sint 则： x(t )
F0 sin t k
若： F (t ) F0 cost 则： x(t )
2 其中T为周期，记 通过谐波分析 F (t ) 可写为: T
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n1
系统的运动微分方程为:
a0 cx kx (an cos nt bn sin nt ) mx 2 n1
1
Acos cost ky
(s)
1 (1 s 2 ) 2 (2 s) 2
2 s ( s ) tan 1 s 2
0
ky my

cy 2 k ymy
s
0
y t y1 (t ) y 2 (t ) A cost ky
2 2 T bn F0 sin ntdt T F0 sin ntdt T T 2
T 2 F0 T 2 0 sin ntdt T sin ntdt T 2
2 F0 2 2 cos n T n n
任意周期激励的响应
微机械陀螺仪 功能：测量角速度
原理： 通过静电力驱动x轴的质量块(mx) 发生周期振动。 在存在角速度 (Ω ) 的情况下，周 期振动在检测轴产生科氏力，科氏力 正比于角速度。 科氏力使检测轴的质量块 (my)发 生振动，通过测量检测轴质量块的振 动幅度便可以测量得到角速度。
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任意周期激励的响应
k y y Acos(t ) Acos cos(t ) Asin sin(t ) m y y c y y
对： Asin sin(t )
y1 (t ) 则： Asin sin t ky
若： Acos cos(t ) 则： y 2 (t )
•设： xc xe it x ：稳态响应的复振幅 •代入振动微分方程，有： •令： 0 则有：
k m

c 2 km
s
0
1 1 s 2 2 si 1 i H ( ) [ ] e 2 2 2 k (1 s ) (2 s) k
振幅放大因子
mx 2e it cxie it kxe it F0e it
任意周期激励的响应
系统的稳态响应为:
a0 an cos(nt n ) bn sin(nt n ) x(t ) 2k n 1 k [1 (n / 0 ) 2 ]2 (2 n / 0 ) 2
其中
k c 0 m 20 m 2 n / 0 n arctan 1 (n / 0 ) 2
任意周期激励的响应
例：质量-弹簧系统受到周

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t -F0 T
0
0 是系统的固有频率
求：系统的稳态响应，画出响应的频谱图
任意周期激励的响应
解：
2 0 周期方波激励的基频： T 6
周期方波可以分解为：
2 T 0 a0 T F (t )dt 2 T an F (t ) cos ntdt 0 T 2 T bn T F (t ) sin ntdt