1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1) 由余弦定理：conB=14sin 22A B++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a 2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号) 故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，因此.31cos =B（II ）解：由2cos ,2==⋅B a 可得，所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

(1)求角B 的大小;(2)求 C A sin sin +的取值范围。

解：（1）Θ m =()B B cos 1,sin -，且与向量n = （2，0）所成角为3π，又Θπ<<B 0（2）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π ∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +πΘ30π<<A ，∴)3sin(A +π⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23，∴ C A sin sin +⎥⎦⎤⎝⎛∈1,23 4已知向量(1,2sin )m A =u r，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22=--A A ……2分 即01cos cos 22=-+A A 1cos 21cos -==∴A A 或1cos ,-=∆A ABC A 的内角是Θ舍去3π=∴A（2）a c b 3=+Θ由正弦定理，23sin 3sin sin ==+A C Bπ32=+C B Θ 23)32sin(sin =-+∴B B π5在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，C ＝2A ，43cos =A ，（1）求B C cos ,cos 的值；（2）若227=⋅BC BA ，求边AC 的长。

解：（1）81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C（2）24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac ①又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ②由①②解得a=4，c=65=∴b ，即AC 边的长为5.6已知A B 、是△ABC的两个内角，向量, sin 22A B A Ba +-=r ），若||a =r . （Ⅰ）试问B A tan tan ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由； （Ⅱ）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状.解：（Ⅰ）由条件223||2a ==r ∴1cos()cos()2A B A B +=-∴3sin sin cos cos A B A B = ∴1tan tan 3A B ⋅=为定值.（Ⅱ）tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B +=-+=--由（Ⅰ）知1tan tan 3A B ⋅=，∴tan ,tan 0A B >从而3tan (tan tan )2C A B =-+≤322-⋅=∴取等号条件是tan tan A B ==， 即6A B π== 取得最大值， 7在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积. 解：(1) ∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得 ∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C整理，得01cos 4cos 42=+-C C解 得：21cos =C ……5分 ∵︒<<︒1800C ∴C=60°（2）解：由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab∴ab b a 3)(72-+=由条件a+b=5得 7=25－3abab=6……10分∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC8已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若)2sin ,2cos (A A-=m ，)2sin ,2(cos A A =n ，32=a ，且21=⋅n m ．（1）若ABC ∆的面积3=S ，求c b +的值． （2）求c b +的取值范围．解：（1）)2sin ,2cos (A A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且21=⋅n m .212sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又),0(π∈A ，32π=∴A ………..2分 又由3sin 21=⋅=∆A bc S ABC ，4=∴bc由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=⋅-+=2222232cos 2π2)(16c b +=∴，故4=+c b（2）由正弦定理得：432sin 32sin sin sin ====πA a C c B b ，又3ππ=-=+A C B ，30π<<B Θ，则3233πππ<+<B .则1)3sin(23≤+<πB ，即c b +的取值范围是].4,32(…10分9在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA ·tanB ．(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A 、B 、C 的大小；(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n ｜的取值范围． 10在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。

⑴求角A 的大小；⑵当22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时，求角B 的大小解：⑴由⊥m n ，得0=g m n ，从而(2)cos cos 0b c A a C --= 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C --=Q ,(0,)A B π∈，∴1sin 0,cos 2B A ≠=，∴3A π= （6分）⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2cos cos 2sin 666y B B B B B πππ=++=-++由(1)得，270,2,366662B B ππππππ<<-<-<=∴2B -时，即3B π=时，y 取最大值211在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小；（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积. 解：（I ）解法一：由正弦定理a A b B cCR sin sin sin ===2得 将上式代入已知cos cos cos cos sin sin sin B C b a c B C BA C=-+=-+22得 即20sin cos sin cos cos sin A B C B C B ++= 即20sin cos sin()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20 ∵sin cos A B ≠，∴，012=- ∵B 为三角形的内角，∴B =23π.解法二：由余弦定理得cos cos B a c b ac C a b c ab =+-=+-22222222，将上式代入cos cos B C b a c a c b ac ab a b cba c =-++-+-=-+2222222222得× 整理得a c b ac 222+-=-∴cos B a c b ac ac ac =+-=-=-2222212∵B 为三角形内角，∴B =23π（II ）将b a c B =+==13423，，π代入余弦定理b a c ac B 2222=+-cos 得 b a c ac ac B 2222=+--()cos ， ∴131621123=--=ac ac ()，∴∴S ac B ABC △==12343sin . 12ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集．（1）求角C 的最大值；（2）若72c =，ABC ∆的面积S =C 取最大值时a b +的值． 解析：（1）显然0cos =C 不合题意， 则有cos 00C >⎧⎨∆≤⎩，即2cos 016sin 24cos 0C C C >⎧⎨-≤⎩， 即cos 01cos 2cos 2C C C >⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩或， 故1cos 2C ≥，∴角C 的最大值为60︒。

…………………6分（2）当C =60︒时，1sin 2ABC S ab C ∆===6ab =，由余弦定理得22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--，∴22121()34a b c ab +=+=，∴112a b +=。

13在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅u r r u r r且的最大值是5，求k 的值.解：（I ）∵(2a －c)cosB=bcosC ，∴（2sinA －sinC ）cosB=sinBcosC.……………………………………………2分 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C)∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA.…………………………………………4分 ∵0<A<π,∴sinA ≠0.∴cosB=21.…………………………………………………………………5分∵0<B<π，∴B=3π.…………………………………………………………6分（II ）m n ⋅u r r=4ksinA+cos2A.…………………………………………………………7分=－2sin 2A+4ksinA+1，A ∈（0，322）……………………………………10分 设sinA=t ，则t ∈]1,0(.则m n ⋅u r r=－2t 2+4kt+1=－2(t －k)2+1+2k 2,t ∈]1,0(.…………………………12分 ∵k>1，∴t=1时，m n ⋅u r r取最大值.依题意得，－2+4k+1=5，∴k=23.14已知锐角△ABC 三个内角为A 、B 、C ，向量()22sin ,cos sin p A A A =-+u v与向量()sin cos ,1sin q A A A =-+v是共线向量.（Ⅰ）求角A. （Ⅱ）求函数232sin cos2C By B -=+的最大值. 解：（Ⅰ） ,p q u r rQ 共线()()()()22sin 1sin cos sin cos sin A A A A A A ∴-+=+-……2分23sin 4A ⇒=…………4分又A为锐角，所以sin 2A =3A π⇒=………6分（Ⅱ）232sin cos 2C B y B -=+2332sin cos 2B B B ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=+12cos 2122B B =-+sin(2)16B π=-+……………9分 50,2,2666B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈⇒-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q …………10分2623B B πππ∴-=⇒=时，max 2y =…………12分15在三角形ABC 中，m =（cos 2C ,sin 2C ）, n =(cos 2C ,－sin )2C且n m ,的夹角为3π（1）求C ；（2）已知c=27,三角形的面积S=233,求a+b （a 、b 、c 分别∠A 、∠B 、∠C 所对的边） 解：（1） C CC n m cos 2sin 2cos 22=-=• cosC=21 C=3π（2） c 2=a 2+b 2－2abcosC c=27449=a 2+b 2－ab=(a+b)2－3ab. S=21absinC=21absin 3π=43ab=233Ab=6 (a+b)2=449+3ab=449+18=4121 a+b=21116已知ABC ∆中，角A ，B ，C ，所对的边分别是,,a b c ，且()22223a b c ab +-=； （1）求2sin 2A B +（2）若2c =，求ABC ∆面积的最大值。