3 线的倾斜角为 , 则函数y = f x )在m, n上的平均变化 4 率为 -1
4.如图,已知曲线
1 3 8 y = x 上一点 P (2, , ) 求: 3 3
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
k =4 12x 3 y 16 = 0
-2 -1
4 3 2 1 O -1 -2
注： （1）切线是割线的极限位置，切线 的斜率是割线斜率一个极限. （2）若割线在P点有极限位置，则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存 在,则在此点处无切线;
ห้องสมุดไป่ตู้1: 求曲线y=f(x)=x2+1在 点P(1,2)处的切线的斜率.
解：设 P1,2)
Q 1 + x, 1 + x) + 1 则割线PQ的斜率 2 1 + x ) + 1 2 k PQ = x
2


)
y = x +1
2
y
Q


y
P x
无限趋近于常数２，从而曲线 在点Ｐ处的切线斜率为２
当 x 无限趋近于０时，k PQ
= 2 + x
M
1
-1 O
j
x
1
１. 求曲线y = x 在点P(1， 1)处
2
的切线的斜率及点 P处的 切线方程.
k =2 y = 2x 1
1. 函数y = 2 x + 1,当x增加x时, y增加了( D )
A.x A.x + x A.2x + 1 A.2x
2. Pc, f x1 )), Qx2 , f x2 ))是曲线y = f x )上的两 f x2 ) f x1 ) 点, 且x1 x2 , 则割线PQ的斜率为 x x
2 1
3. 若曲线y = f x )过Pm, f m )), Qn, f n ))n m )两点的割

2
)
= 2 x0 + x
切线方程是 12x 4 y 9 = 0
（1）能从极限的角度理解曲线在点P 处切线的定义； （2）能求曲线在点P处切线的斜率及 方程；
1、课本
P６５ 习题４
2、新课标 P１０８ －P１０９
2 y = 2 x + 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求 备用:已知曲线 过点P的切线的倾斜角和切线方程.
x 0
4 + x 2(1 + x )2 + 2 + 2
=
4 = 1. 21+ 2 + 2
K P = tana = 1,a = 45 , 即 过P点 切 线 的 倾 斜 角 等 于45 .
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
1 y = 3 上一点P(1,-1)处的切线方程. x
y 解 : K P = lim , 而y = f (1 + x ) f (1) = 2(1 + x )2 + 2 2, x 0 x
2(1 + x )2 + 2 2 y 4x + 2( x )2 lim = lim = lim x 0 x x 0 x 0 x x[ 2(1 + x )2 + 2 + 2] = lim
y=
1 3 x 3
P
x 1 2
5. 设曲线y = x 2在点P处的切线斜率为 3，求点P的
坐标和切线方程
解: 设点P的坐标为 x0 , x0
x
x y 所以当 x趋向于 0时， 趋向于 2 x0 x 3 3 9 2 x0 = 3, x0 = , 切点坐标为 , 2 2 4
x0 + x )2 x0 2 ) = 2 x0 x + x )2
苏教版数学选修1-1
3.1 曲线上一点处的切线
求曲线y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率。 设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点 Px0 , f x0 ))
及邻近的一点 Qx0 + x, f x0 + x)) ，过P、Q两点作割线， 并过P点作x轴的平行线MP、过Q点作y轴的平行线MQ， 那么
T
切线
P x
o
Px, f x )) 是曲线 如图，曲线C是函数 f x ) 的图象， C上的任意一点， Qx + x, f x + x)) 为P邻近一点， PQ为C的割线， 则割线ＰＱ的的斜率为
f x + x ) f x ) k PQ = x + x ) x f x + x ) f x ) = x y = x = t an
MP = x, MQ = y,
y
y=f(x) f(x0+x) Q Q Q
Δy
M
T
f(x0) O
P
)))) )a x0
Δx
x0+x
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δ x无限 趋近于0时,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直 线PT称为曲线在点P处的切线.
y y=f(x)
Q
割 线
y
y=f(x)
Q
Δy
P O
β
Δx
M x
当点Ｑ沿曲线Ｃ向点Ｐ运动，并 无限靠近点Ｐ时，割线ＰＱ逼近 点Ｐ的切线L,从而割线的斜率逼 近切线的斜率．
y y=f(x)
即：当Δx无限趋近于0时
Q
f ( x0 + x) f ( x0 ) x
无限趋近于点P处的切线的斜率.
O P
Δy
Δx
M x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
答案:y=3x-4.
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.
y y=f(x)
Q
割 线
T
切线
P
a
x
o