概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章第四章习题解答1．设随机变量X ～B （30，61），则E （X ）＝( D ). A.61；B.65； C.625； D.5.1()3056E X np ==⨯=2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）.A. 3；B. 6；C. 10；D. 12.()1()3E X E Y ==因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y ==3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______．(10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==:22()(())()18.4E X E X D X =+=4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）.解：X 1 2 3 P2/32/91/922113()233999E X =+⨯+⨯= 5．设X 的概率密度函数为,01()2,120,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它求2() ,().E X E X 解：12201()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰,122232017()()(2)6E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-=⎰⎰⎰.2214()[()]()1.33E X E X D X =+=+=24440116()()d d 25E X x f x x x x +∞-∞===⎰⎰2422216464()()[()]()5345D XE X E X =-=-=10．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2 P1/51/21/51/10求 D (X ).解：22()()(())D X E X E X =-，1111()101255105E X =-⨯++⨯+⨯=,22221114()(1)01255105E X =-⨯++⨯+⨯=,224119()()(())52525D XE X E X =-=-=. 11．设随机变量X 的概率密度函数为||1()e 2x f x -=，求D (X )．解：1()()02xE X xf x dx xe dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 22201()()222xE X x f x dx x e dx +∞+∞--∞===⎰⎰， 22()()(())2D X E X E X =-=.12．设随机变量X ，Y 相互独立，其概率密度函数分别为,01()2,120,X x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 e ,0()0,y Y y f y -⎧≥=⎨⎩其它求D (X )，D (Y )，D (X -Y )．解：由本章习题5知()1E X =，27()6E X =，于是有 221()()(())6D XE X E X =-=. 由(1)Y E :知()()1E X D X ==.由于随机变量X ，Y 相互独立，所以7()()()6D X Y D X D Y -=+=. 13．设D (X )=1,D (Y )=4,相关系数0.5XY ρ=，则cov(X ,Y )=___1____.cov(X ,Y )=()()1D X D Y ρ=14．设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数为1sin()0,0(,)2220x y x y f x y ππ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩，，其它求cov(X ,Y )，XY ρ． 解：()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22001sin()24x x y dxdy πππ=+=⎰⎰,22()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰222001sin()2x x y dxdy ππ=+⎰⎰22011(cos +sin )2282x x dx πππ==+-⎰, 2221()()[()]2162D XE X E X ππ=-=+-. 由对称性 ()()4E Y E X π==, 21()()2162D Y D X ππ==+-. 2200()()(,)12()sin()22E XY xy f x y dxdyxy x y dxdy πππ+∞+∞-∞-∞=-=+=⎰⎰⎰⎰，cov(X ,Y )=22()()()().24E XY E X E Y ππ--=-=-00461，2221[()](2)=-0.2454.24162()()XY D X D Y πππρπ-==-+-15．设二维随机变量(X , Y )有联合概率密度函数1(),02, 02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 试求E (X )，E (Y )，cov(X , Y )，XY ρ． 解：()(,)E X x f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰220017()86x x y dxdy =+=⎰⎰,由对称性7()6E Y =. 220014()()(,)()()83E XY xy f x y dxdy xy x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰, cov(X ,Y )= 1()()()36E XY E X E Y -=-.222220015()()(,)()()83E X x f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰, 2211()()(())36D XE X E X =-=. 由对称性11()36D Y =. 111()()XY D X D Y ρ==-16．设X , Y 相互独立，X ~N (0，1)，Y ~N (1，2)，Z = X +2Y ，试求X 与Z 的相关系数．解：cov(,)cov(,2)()2cov(,)101X Z X X Y D X X Y =+=+=+=,()(2)()4()9D Z D X Y D X D Y =+=+=,13()()xz D X D Z ρ==.17．设随机变量~X N (5,3)，Y 在[0，6]上服从均匀分布，相关系数12XY ρ=，求（1）(2)E X Y -；（2）(2)D X Y -.解：(2)()2()5231E X Y E X E Y -=-=-⨯=-,2(2)()4()4cov(,)()4()4()()61344339.122XY D X Y D X D Y X Y D X D Y D X D Y ρ-=+-=+-=+⨯-⨯=18．设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为2,01,0(,)0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它 求（1）E （X ＋Y ）；（2）E （XY ）；（3）XY ρ.解：10()()(,)2(())1xE X Y x y f x y dxdy x y dy dx +∞+∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰;1001()()(,)2()4xE XY xy f x y dxdy xy dxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰;1002()(,)2()3x E X x f x y dxdy xdy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰1()()()3E Y E X Y E X =+-=cov(X ,Y )= 1()()()36E XY E X E Y -=1222001()(,)2()2x E X x f x y dxdy x dy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 1222001()(,)2()6xE Y y f x y dxdy y dy dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 221()()(())18D X E X E X =-=，221()()(())18D YE Y E Y =-= 12()()xz D X D Z ρ==。