2014高二春期期中理科试题答案
一：选择题 AAACD DCDAD CB 二：13. 2 14.
2
π
15. []2,1- 16. 41
三：17．解：（1），x
x x x x f 2
11)(-=-='
所以)(x f 在)1,0(上单调递增，在∞+.1(）上单调递减 。

（5分） （2），由（1）)(x f 在)1,1(e 上单调递增，在e .1(上单调递减
)(x f 最大值为2
1
)1(-=f 。

（7分） 021
4)()1(2
24>--=-e e e e f e f 。

（8分） )(x f 最小值为22
1
1)(e e f -= 。

（10分） 18.解：)234(234)(2
2
3
++=++='ax x x x ax x x f 因)(x f 仅在0=x 处有极值，等价于02342≥++ax x
对R x ∈恒成立， 。

（6分） 即0329244)3(22
≤-=⋅⋅-a a
得3
2
4324≤
≤-
a 此时，0)(),,0(;0)(),0.(>'+∞∈<'-∞∈x f x x f x )(x f 仅在0=x 处有极小值，所求a 的范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-324,324。

（12分） 19.解：分别将2,1=n 代人，得
1,61
)
2(105)1(31==∴⎩⎨
⎧+=+=b a b a b a 。

（2分） 下面用数学归纳法证明
（1） 当1=n 时，由上可知等式成立 。

（3分） （2）假设k n =时结论成立，即6
)
12)(1(3212222++=++++k k k k ,
那么1+=k n 时=++++++2
2
2
2
2
)1(321k k
)16
2)(1()1(6)12)(1(22++++=++++=k k k k k k k k
6
)
1)1(2)(1)1)((1(6)32)(2)(1(+++++=
+++=
k k k k k k ， 这就是说，1+=k n 时，结论也成立 。

（11分）
由（1）（2）可知，存在常数1,6
1
==b a 对任意的*∈N n ，都有
6)
12)(1(3212222++=
++++n n n n 。

（12分） 20.解：（1）x x f 2)('
=
1l ∴为)(22t x t t y -=- 。

（1分）
即2
2t tx y -=，它与x 轴交于)0,2
(t
，与2l 交于（2，)42
t t -， 则)(t g =
)4)(2
2(212
2
2
t t t x ---⎰
t t t x 424|3123203-+-=
38
42423+-+-=t t t ，))2,0((∈t 。

（6分） （2）)3
4)(4(434443)(2'
---=-+-=t t t t t g ，
由)20(0)('
<<>t t g 得)2,34
(∈t ，)(x g ∴在)2,3
4(上增， 由)20(0)('
<<<t t g 得)34,0(∈t ，)(x g ∴在)3
4,0(上减，
.27
8
)34()(min ==∴g x g 。

（12分） 21. 解：(1) b ax x x f ++='23)(2
，依题意023)1(=++='b a f
101)1(2
=+++=a b a f 解得⎩⎨
⎧-==114b a 或⎩
⎨⎧=-=33
b a 经检验当⎩⎨
⎧=-=33
b a 时无极值点，当
⎩⎨
⎧-==11
4
b a 时函数)(x f 在1=x 处有极小值，故
11-=b ， 。

（4分） 2）023)(2
≥++='b ax x x f 对),1[+∞-∈∀a ，当)2,0(∈x 恒成立
记b x a x b ax x a h ++=++=2
2
3)2(23)(， 所以023)1()(2
min ≥+-=-=b x x h a h 又设b x x x H +-=23)(2
， 当)2,0(∈x 时03
1
)31()(min ≥+-
==b H x H 31≥
b ，所以b 的最小值为3
1
. 。

（8分） （3）：当1=a 时，1)(2
3
+++=bx x x x f ，设切点为),(00y x P ，则切线斜率为
2
)(23)(0002
00+=
++='x x f b x x x f 得01247202
030=-+++b x x x 记=)(0x F 1247202
03
0-+++b x x x ，过点)0,2(-能作)(x f 三条切线等价于)(0x F 有三个零点
)2)(13(24146)(0002
00++=++='x x x x x F
令⎪⎩⎪⎨⎧<->-0)31(0)2(F F 即⎪⎩
⎪
⎨⎧<->+02744
20
32b b 得)2722,23(-∈b 。

（12分） 22. 解：（1）2
2'
)
1(1
)22()(++-+=x x x a x x f ，因为)(x f 在),0(+∞上为单调增函数，所以0)('≥x f 在),0(+∞上恒成立，即01)22(2≥+-+x a x 在),0(+∞上恒成立，它等价于
x
x a 1
22+
≤-在),0(+∞上恒成立，因为 ),0(+∞∈x 时，2)1
(min =+x
x ，,222≤-∴a 即,2≤a ∴a 的取值范围为
(]2,∞-. 。

（6分）
（2）不妨设n m >，原不等式等价于,21ln 1+<-n m n m n m 即1)
1(2ln +->n
m n m n m
， 即01)1(2ln >+--
n
m n m n
m ， 令,1)
1(2ln )(+--=x x x x h 这个函数即为2=a 时的函数)(x f ，由（1）知它在),1(+∞上是
单调增函数，又1>n m ，0)1()(=>∴h n m
h ，
01)1(2ln >+--∴n
m n m n m ，∴.2ln ln n m n m n m +<-- 。

（12分）。