第四节 基本不等式[最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．[常用结论] 重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b ≥b .一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4. ( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件． ( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a . ( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82C [xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．故选C.] 2．若x ＞0，则x ＋4x ( ) A ．有最大值，且最大值为4 B ．有最小值，且最小值为4 C ．有最大值，且最大值为2 2 D ．有最小值，且最小值为2 2 B [x ＞0时，x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立．故选B.]3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m 2.25 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.]4．一个长方体的体积为32，高为2，底面的长和宽分别为x 和y ，则x ＋y 的最小值为 ．8 [由题意知xy ＝16，则x ＋y ≥2xy ＝8；当且仅当x ＝y ＝4时等号成立，故x ＋y 的最小值为8.]考点1 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的三种思路利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：(1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)直接法求最值(1)若a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)(b ＋1)的最大值为( )A.32 B ．2 C.94 D ．4 (2)ab ＞0，则a 2＋2b 2ab 的最小值为( ) A ．2 2B. 2 C ．3 D ．2(3)(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则(x＋1)(2y＋1)xy的最小值为．(1)C(2)A(3)92[(1)(a＋1)(b＋1)≤[(a＋1)＋(b＋1)]2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＝94，故选C.(2)∵ab＞0，∴a2＋2b2ab＝ab＋2ba≥2ab·2ba＝22，当且仅当ab ＝2ba，即a＝2b时等号成立，故选A.(3)(x＋1)(2y＋1)xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋5xy＝2＋5xy，∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，∴4＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2，∴1xy≥12，∴2＋5xy≥2＋52＝92.]解答本例T(2)，T(3)时，先把待求最值的式子变形，这是解题的关键．配凑法求最值(1)已知x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，14，则x(1－4x)取最大值时x的值是()A.14 B.16 C.18 D.110(2)已知不等式2x＋m＋2x－1＞0对一切x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立，则实数m的取值范围是()A．m＞－6 B．m＜－6 C．m＞－7 D．m＜－7(3)若－4＜x＜1，则f(x)＝x2－2x＋22x－2()A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1(1)C (2)A (3)D [(1)由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14知1－4x ＞0，则x (1－4x )＝14·4x (1－4x )≤14×⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋1－4x 22＝116， 当且仅当4x ＝1－4x ，即x ＝18时等号成立，故选C. (2)由题意知，－m ＜2x ＋2x －1对一切x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞恒成立，又x ≥32时，x －1＞0，则2x ＋2x －1＝2(x －1)＋2x －1＋2≥22(x －1)×2x －1＋2＝6， 当且仅当2(x －1)＝2x －1，即x ＝2时等号成立． ∴－m ＜6，即m ＞－6，故选A. (3)∵－4＜x ＜1，∴0＜1－x ＜5， ∴f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝x 2－2x ＋1＋12(x －1)＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12×2(1－x )·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时等号成立．∴函数f (x )有最大值－1，无最小值，故选D.]形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cdx ＋e的函数，可化为f (x )＝1m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋k )＋1x ＋k 的形式，再利用基本不等式求解，如本例T (3)．[教师备选例题]已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为 ．1 [因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.] 常数代换法求最值(1)已知实数x ，y 满足x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)设a ＞0，b ＞0，若33是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．12 B ．4 C.34D.43(1)D (2)D [(1)x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时等号成立，故选D.(2)由题意知3a ·3b ＝(33)2，即3a ＋b ＝33，∴a ＋b ＝3，∴1a ＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝43， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝32时等号成立，故选D.]使用常数代换法时，若式子的值不为1，应注意平衡系数，如本例T (2)．[教师备选例题]已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为 ． 92[∵正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y ＝12(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2×2y x ·2x y ＝92，当且仅当x ＝y ＝23时取等号． ∴2x ＋1y 的最小值为92.]1.设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( )A ．40B ．10C ．4D ．2D [由x ＞0，y ＞0，x ＋4y ＝40得40＝x ＋4y ≥24xy ∴xy ≤10，即xy ≤100(当且仅当x ＝20，y ＝5时等号成立)， ∴lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 100＝2，故选D.]2．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ≥15 B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤15A [由x ＞0，得x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立．则a ≥15，故选A.]3．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6B [由题意知(a ＋1)＋(b ＋c )＝3，则 4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c [(a ＋1)＋(b ＋c )]＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋24(b ＋c )a ＋1×a ＋1b ＋c ＝3， 当且仅当4(b ＋c )a ＋1＝a ＋1b ＋c，即a ＝1，b ＋c ＝1时等号成立，故选B.]考点2 基本不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．(2019·常州模拟)习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W (单位：千克)与肥料费用10x (单位：元)满足如下关系：W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5(x 2＋2)，0≤x ≤2，48x x ＋1，2＜x ≤5，其它成本投入(如培育管理等人工费)为20x (单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为f (x )(单位：元)．(1)求f (x )的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少？[解] (1)由已知f (x )＝10W (x )－20x －10x ＝10W (x )－30x ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×5(x 2＋2)－30x ，0≤x ≤2，10×48x 1＋x－30x ，2＜x ≤5则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x 2－30x ＋100，0≤x ≤2，480x1＋x－30x ，2＜x ≤5.(2)由(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x 2－30x ＋100，0≤x ≤2480x1＋x－30x ，2＜x ≤5变形得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3102＋1192，0≤x ≤2，510－30⎣⎢⎡⎦⎥⎤161＋x ＋(1＋x )，2＜x ≤5.当0≤x ≤2时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，310上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤310，2上单调递增， 且f (0)＝100＜f (2)＝240， ∴f (x )ma x ＝f (2)＝240；当2＜x ≤5时，f (x )＝510－30⎣⎢⎡⎦⎥⎤161＋x ＋(1＋x )， ∵x ＋1＋16x ＋1≥2(1＋x )·161＋x＝8，当且仅当161＋x＝1＋x 时，即x ＝3时等号成立． ∴f (x )ma x ＝510－30×8＝270，因为240＜270，所以当x ＝3时，f (x )ma x ＝270.答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元．解答本例第(2)问时，对f (x )＝480x1＋x －30的变形是解题的关键． 1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．30 [一年的总运费为6×600x ＝3 600x (万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]2．一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800 km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要 小时．10 [设全部物资到达灾区所需时间为t 小时，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了50个v 2800km ＋400 km 所用的时间， 因此，t ＝50×v 2800＋400v＝v 16＋400v ≥2v 16·400v ＝10.当且仅当v 16＝400v ，即v ＝80时取“＝”．故这些汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．]。