第4节基本不等式
【选题明细表】
一、选择题
1.(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg>lg x(x>0)
(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)
(C)x2+1≥2|x|(x∈R)
(D)>1(x∈R)
解析:对选项A,当x>0时,x2+-x=≥0,
∴lg≥lg x;
对选项B,当sin x<0时显然不成立;
对选项C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立;
对选项D,∵x2+1≥1,
∴0<≤1.
故选C.
2.(2013安徽省示范高中高三模拟)“1<a<2”是“对任意的正数x,2x+≥2”的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:2x+≥2⇒2≥2⇒a≥.故选A.
3.(2013重庆市部分重点中学高三联考)已知p=a+(a>2),q=(x ∈R),则p,q的大小关系为( A )
(A)p≥q (B)p>q (C)p<q (D)p≤q
解析:p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时,取得等号;而由于
x2-2≥-2,故q=≤-2=4,故p≥q.故选A.
4.(2012年高考浙江卷)若正数x、y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( C )
(A)(B)(C)5 (D)6
解析:由x+3y=5xy,得+=5(x>0,y>0),
则3x+4y=(3x+4y)
=
≥
=(13+12)=5.
当且仅当=,
即x=2y时,等号成立,
此时由
解得故选C.
5.(2013湖北省黄冈中学高三二模)设x,y∈R,a>1,b>1,若
a x=
b y=2,a2+b=4,则+的最大值为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由题意得:=log2a,=log2b,
+=2log2a+log2b=log2(a2b)≤log22=2,当且仅当b=a2时等号成立,故选B.
6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( B )
(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件
解析:若每批生产x件产品,
则每件产品的生产准备费用是元,存储费用是元,总的费用
y=+≥2=20,
当且仅当=时取等号,得x=80(件),故选B.
7.(2012年高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和
b(a<b),其全程的平均时速为v,则( A )
(A)a<v<(B)v=
(C)<v< (D)v=
解析:设甲乙两地相距为s,
则v==.
由于a<b,∴+<,
∴v>a,
又+>2,
∴v<.
故a<v<,
故选A.
8.(2013山东师大附中高三三模)设a>0,b>0.若是3a与3b的等比中
项,则+的最小值是( C )
(A)2 (B)(C)4 (D)8
解析:由题意知3a×3b=()2,即3a+b=3,
所以a+b=1.
所以+=+=2++≥2+2
=4,
当且仅当=,即a=b=时,取等号,所以最小值为4.故选C.
二、填空题
9.(2013年高考四川卷)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
解析:因为x>0,a>0,
所以f(x)=4x+≥2=4,
当且仅当4x=,即a=4x2时取等号.
由题意可得a=4×32=36.
答案:36
10.已知直线ax-2by=2(a>0,b>0)过圆x2+y2-4x+2y+1=0的圆心,ab的最大值为.
解析:圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,
所以圆心为(2,-1),
因为直线过圆心,
所以2a+2b=2,即a+b=1.
所以ab≤2=,当且仅当a=b=时取等号,
所以ab的最大值为.
答案:
11.(2013北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转
年时,年平均利润最大,最大值是万元.
解析:每台机器运转x年的年平均利润为=18-x+,而x>0,故≤
18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值
为8万元.
答案:5 8
12.(2013山师大附中高三第四次模拟)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正实数,若a⊥b,则t=x+2y的最小值是.
解析:因为a⊥b,
所以a·b=(x,-2)·(y,1)=0,
即xy=2.
又t=x+2y≥2=4,当且仅当x=2y=2时,等号成立,
所以t=x+2y的最小值是4.
答案:4
13.(2013江西省百所重点高中诊断)已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x
∈R)的值域为[0,+∞),则+的最小值为.
解析:由题意知a>0,Δ=4-4ac=0得ac=1,
∴+=++(a+c)≥2+2=4,
当且仅当a=c时等号成立.
答案:4
三、解答题
14.已知函数f(x)=lg x,若x1,x2>0,判断[f(x1)+f(x2)]与f的大小,并加以证明.
解:[f(x1)+f(x2)]≤f.
证明如下:
∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),
f=lg ,
且x1,x2>0,x1x2≤,
∴lg(x1x2)≤lg,
∴lg(x1x2)≤lg ,
即(lg x1+lg x2)≤lg .
∴[f(x1)+f(x2)]≤f,
当且仅当x1=x2时,等号成立.
15.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
解:(1)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
又x>0,y>0,
则1=+≥2=,
得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立. 所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,
得+=1,
则x+y=+·(x+y)
=10++
≥10+2
=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
∴x+y的最小值为18.
16.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张,每批都购入x张(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4张,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
解:(1)设题中比例系数为k,若每批购入x张书桌,
则共需分批,每批价值为20x元,
由题意得f(x)=·4+k·20x.
由x=4时,f(x)=52,
得k==.
∴f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*).
(2)由(1)知f(x)=+4x(0<x≤36,x∈N*),
∴f(x)≥2=48(元).
当且仅当=4x,
即x=6时,上式等号成立.
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.。