等差数列
教学目标
1．理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义． 2．掌握等差数列的通项公式及其应用．
3．会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系． 基础知识
1．等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，通常用字母d 表示．
名师点拨
(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(2)公差d ∈R ，当d ＝0时，数列为常数列；当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．
【做一做1】 等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________． 2．通项公式
等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则通项公式是a n ＝________. 归纳总结
(1)如果数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，那么数列{a n }是等差数列．
(2)如果数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ＞1，n ∈N *)，那么数列{a n }是等差数列．
【做一做2】 已知等差数列{a n }中，首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n 等于( )
A ．4－2n
B ．2n －4
C ．6－2n
D ．2n －6 3．等差中项
如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么____叫做______的等差中项． 归纳总结
等差中项的性质：
①A 是a 与b 的等差中项，则A ＝a ＋b
2
或2A ＝a ＋b ，即两个数的等差中项有
且只有一个．
②当2A ＝a ＋b 时，A 是a 与b 的等差中项．
【做一做3】 13与－11的等差中项m ＝__________. 重点难点
1．对等差数列定义的理解
剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一个常数”．
①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
②如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管是常数，但这个数列也不一定是等差数列．这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列．
(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义：
在数列{a n}中，如果a n＋1－a n＝d(常数)对任意n∈N*都成立，则称数列{a n}为等差数列，常数d称为等差数列的公差．
(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠倒，即d ＝a n＋1－a n＝a n－a n－1＝…＝a3－a2＝a2－a1.
(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个常数，就断言此数列为等差数列．
2．对等差数列通项公式的理解
剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式．
由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可得a n＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么a n＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，a n是关于n的一次函数，即(n，a n)在一次函数y＝px＋q的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上．
所以公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．
当p＝0时，a n＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点．
(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项．
(3)等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，a n，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”．
例题
题型一求等差数列的通项公式
1.求等差数列8,5,2，….的第20项；
2.-401是不是等差数列-5，-9，-13，…,的项？如果是，是第几项？
3. 若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a n.
分析：先求出a1，d，然后求a n.
反思：一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋(m －1)d ＝a ，
a 1＋(n －1)d ＝
b ，
求出a 1和d ，
从而确定通项公式．
题型二 实际应用问题
1.某市出租车的计价标准为1.2元/公里，起步价为10元，即最初的4公里（不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往14公里处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
2. 梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差．又梯子的级数是12，因此，该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差．
反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数，求各项．
题型三 等差数列的判定与证明
1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn+q ，其中p.q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
2. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4－2n ，求证：数列{a n }是等差数列．
分析：只需证明a n ＋1－a n ＝常数或a n －a n －1＝常数(n ≥2)．
反思：已知数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )，用定义判断或证明{a n }是等差数列的步骤：
(1)利用通项公式a n ＝f (n )写出a n ＋1＝f (n ＋1)(或a n －1＝f (n －1))； (2)作差a n ＋1－a n (或a n －a n －1)，将差变形；
(3)当差a n ＋1－a n (或a n －a n －1)是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当差a n ＋1－a n (或a n －a n －1)不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．。