F dr
ADB
F dr
F dr
ADB
W F dr
L
ACB
F dr 0
物体沿闭合路径运动一周时，保守力做功为零
W F dr 0
L
三 势能 E p 1.定义：
设保守力 F 将质点 m 由a→b，保守力的功： b Wab F dr EPa EPb ～势能 E P a
④系统具有势能的条件是物体之间的相互作用力必 须是保守力，而对非保守力系统谈论势能，则没有 任何意义。 如：摩擦力为非保守力，不存在什么摩擦势能。
§3-6 功能原理
机械能守恒定律
动能定理适合于单个物体，也可将其推广到多个 物体组成的系统，成为系统的功能原理。 一、质点系的动能定理 设系统由n个物体（质点）组成，作用于各个质点 的力所作的功分别为：
Mm 1 EP＝ r －G r 2 dr GMm r

F m r
M
o
③弹性势能
Wab
xb
xa
1 2 1 2 kxdx ( kxb kxa ) EP 2 2
弹性势能以弹簧原长为零势能点。
1 1 2 E P kxdx (0 kx ) kx 2 x 2 2 势能曲线对照表(势能随位置变化的曲线～势能曲线)
重力势能曲线
弹性势能曲线
万有引力势能曲线
WCin ( EPi EPi0 )
i 1 i 1
n
n
质点系的动能定理：
W Wnc ( Eki EPi ) ( Eki0 EPi0 )
ex in i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
定义：机械能E：系统中各物体的动能与势能之总和。
E Eki EPi
er
dr
r dr
B
m
r
rA
rB
m'
A
以 m 所在处为原点, m 指向 m 的方向为矢径的 正方向。 m 受的引力方向与矢径方向相反。则万 有引力对质点所作的功为：
1 dW F dr Gmm 2 er dr r
er
er dr │ er │ │ dr │ cos │ dr │ cos dr
三、机械能守恒定律 若外力和非保守性内力都不作功，即 in W ex 0 Wnc 0 则有： E E E0 0
E
i 1
n
ki
EPi Eki0 EPi0
i 1 i 1 i 1
n
n
n
当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时， 质点系的总机械能是守恒的～机械能守恒定律 在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能 保持不变。
0
保守力 重 力 弹 力
势能（E p ） mgh
1 2
势能零点 h=0
Ep
0
势能曲线
Ep
kx
2
x=0
Ep
0 0
x r
引 力
mM G r
r=∞
3.势能和保守力的关系： 势能是保守力对路径的线积分，EP＝
dEP F dl F cos dl Fdl l
dE P Fl dl
EP EP EP F Fx i Fy j Fz k i j k y z x = EP = gradEP
～保守力等于势能的负梯度。grad～梯度运算 说明： ①势能是状态的函数。在保守力作用下，保守力所 作的功与路径是无关的。所以，势能是坐标的函数， 亦即是状态的函数。
i 1 i 1
n
n
E0 Eki0 EPi0
i 1 i 1
n
n
质点系的末机械能
质点系的初机械能
in 则： W ex Wnc E E0 E
～质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作 功之和。这就是质点系的功能原理
注意：
ex W ① ～各质点所受外力作功之和，不是合外力 in W 作功；同理， nc 同上。
W 1 ,......, W i ,......, W n
各质点的初动能： Eki 0 末动能： Eki
i 1, 2,......, n
由质点的 W1 Ek1 Ek10 ........ 动能定理： W2 Ek 2 Ek 20 W E E i ki ki 0
以上各式相加得：
W Wi Eki Eki0
i 1 i 1 i 1
作用在n个质点上 的力所作的功之和
n
n
n
系统内n个质点 系统内n个质点 的末动能之和 的初动能之和
作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的 动能增量。这也叫做质点系的动能定理。
系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外 力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力。 作用于质点系的力所作的功，应是一切外力 （系统外力）对质点系所作的功与质点系内一 切内力（系统内力）所作的功之和
注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统 的总动量。
二、质点系的功能原理 将系统内力分成保守力与非保守力，其对质点系 作功分成保守内力作的功和非保守内力作的功。
即：
in W in Wcin Wnc
质点系内一切 内力所作的功
质点系内各保守 质点系内各非保 内力作功之和 守内力作功之和
因为系统内保守力作的功等于势能增量的负值， 所以，质点系内各内力的保守力所作的功应为：
即： n
Wi
i 1
ex in ex in W W W W i i i 1 i 1
n
n
作用质点系上的所 有力所作的功之和
作用于质点系的 所有外力作的功
质点系内一切 内力所作的功
质点系的动能定理：
W
ex
W
in
Eki Eki0
i 1 i 1
n
n
～所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。
上式可改写为：
E
i 1
n
ki
Eki0 ( EPi EPi0 )
i 1 i 1 i 1
n
n
n
即：
Ek E p
说明：在满足机械能守恒的条件下，系统内的动 能与势能是可以相互转换的，而其转换是通过系 统内保守力作功来实现的。 分析：在机械能守恒的条件下，常见几种保守 力的势能曲线。 其中，曲线斜率为保守力的大小。由曲线观察零 势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的 转化。
rB rB rA rA
r
dr
r dr
W dW Gmm
1 1 dr Gmm 2 r rA rB
万有引力做功只取决于质点m的起、末点位 置，而与路径无关。万有引力是保守力。
2. 重力作功 设质点m在重力作用下由A运动到B，取地面为坐标原 点，y轴向上为正，A、B的坐标分别为y1、 y2 。
x
x
x
可见，对在弹性限度内具有给定劲度系数的弹簧 来说，弹性力所作的功只由弹簧起始和终了的位 置决定，而与弹性形变的过程无关。弹性力是保 守力。
二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式 凡其作功与路径无关，仅与始、末位置有关的力 称为保守力。 重力和弹性力，万有引力（重力就是一种万有 引力）、分子间相互作用的分子力、静电力等都 属于保守力。 凡作功与路径有关的力称为非保守力。 常见的摩擦力，物体间相互作非弹性碰撞时的 冲击力都属于非保守力。 推导保守力作功的数学表达式 设一物体m在保守力作用下,自点A沿路径ACB到达 点B，或沿路径ADB到达点B。根据保守力作功与路 径无关的特点做功与路径无关，只与起点、终点位 置有关。
当弹簧在水平方向不受外力作用时，它将不 发生形变，此时物体位于点0(即位于x=0处)， 这个位置叫做平衡位置 现以平衡位置0为坐标原点，向右为x轴正向。
F kxi
W
k
m

x2
x1
kxdx
1 2 1 2 ( kx2 kx1 ) 2 2
o k F m o x1 m k x o F 2
②势能的量值仅有相对意义。必须指出零势能参考 点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相 对位置的单值函数。
=grad i j k x y z
EP＝EP ( x, y, z)
只有当我们选定某一位置为系统的势能零点时， 其他系统的势能才有确定的量值。势能零点的选取 是任意的。通常，选地面为重力势能零点；无穷远 处为引力势能零点；平衡位置为弹簧势能零点。须 加以说明。 ③势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的， 不应将其看作属于某一物体的。 重力势能～物体和地球组成的重力系统； 弹簧势能～物体和弹簧组成的弹性系统。
m
C
L1
F
B
A
L2
D
WACB WADB F dr
ACB
ADB
F dr
（路径L1）
（路径L2）
对沿闭合路径ACBDA运动一周的物体做功为
W F dr
L ACB
F dr
BDA
F dr

BDA
dW mg dr mgdy
y2 y1
m
y y1 y2
W mgdy mg ( y2 y1 ) mg ( y1 y2 )
3. 弹性力作功
mg
o 可见，重力是保守力。
如图所示是一放置在光滑平面上的弹簧，弹簧的一 端固定，另一端与一质量为m的物体相连接。