①引力势能 引力势能
m' m m' m 引力的功 引力的功 WAB = −(−G r ) − (−G r ) B A
A点势能： 点势能： 且令E 设B点为无限远 即rB=∞ 且令 PB=0 点为无限远
m' m WAB = −G rA
= − ( E pB − E pA ) = E pA
功与路径无关，只决定于初末位置。 功与路径无关，只决定于初末位置。 第三章 动量守恒和能量守恒
4
} ⇒ dW
物理学
第五版
3-5 保守力与非保守力 势能 -
F
dW
O
x1
x2
dx
x2 x
W = ∫ Fdx = ∫
x1
x2
x1
1 2 1 2 − kxdx = −( kx2 − kx1 ) 2 2
5
第三章 动量守恒和能量守恒
W p → p0 = −( Ep0 − Ep ) = −∆Ep
E p ( x, y, z) =
∫
E p0 = 0
( x, y,z )
F ⋅ dr
任意一点的势能等于在保守力作用下 从该点到势能零点保守力所作的功
第三章 动量守恒和能量守恒 10
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
W AB = − ( E pB − E pA ) = − ∆ E P
引力的功 引力的功
m' m m' m WAB = −(−G ) − (−G ) rB rA
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2
1 2 E p = kx 2
8
第三章 动量守恒和能量守恒
第三章 动量守恒和能量守恒 1
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
m从A到B的过程中 F 作功： 从 到 的过程中 作功：
m'm W = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 2 er ⋅ dr rA A r er ⋅ dr = er ⋅ dr cosθ = dr cosθ
B
A
er
m
r
rB
dr
θ
er c c θ m r dr D
'
m'
r + dr
B
m'
r + dr
D'
dr
er ⋅ dr = dr cosθ ' ' = CC = DD = dr
2
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
m'm W = ∫ − G 2 r rA r
rB
A
rA
L2
m
er
dr
θ
第三章 动量守恒和能量守恒 7
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三 势能
3-5 保守力与非保守力 势能 -
可定义与位置（状态）有关的函数， 可定义与位置（状态）有关的函数，用该函数在初末 位置之差来表示力的功；因功是能量转化的量度， 位置之差来表示力的功；因功是能量转化的量度，所 以上述所定义的函数对应于能量，称为势能。 以上述所定义的函数对应于能量，称为势能。
第三章 动量守恒和能量守恒 12
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
讨论 势能是状态的函数 势能是状态的函数 Ep = Ep ( x, y , z ) 状态的 势能具有相对性，势能大小与势能零 势能具有相对性，势能大小与势能零 相对性 大小与势能 er 的选取有关 有关． 点的选取有关． A m θ 势能差与势能 rA r dr 零点选取无关． 零点选取无关． r + dr m' 势能是属于系统的 系统的． 势能是属于系统的．
2π
2( ydx + xdy ) + ( xdz + zdx ) + ( zdy + ydz ) =∫ θ1 + ( x + 5)dx + ydy + ( z − 6 )dz θ2 1 2 1 2 1 2 = ∫ d 2( xy ) + zx + yz + x + y + z + 5 x − 6 z θ1 2 2 2 第三章 动量守恒和能量守恒 16
1 1 W = Gm′m( − ) rB rA
W W
L1
r
rB
= G m ′m ( = G m ′m (
1 1 − ) rB rA 1 1 − ) rB rA
m'
r + dr
L1
B
L2
WL1 = WL2
作功特点： 作功特点：
功与路径无关，只决定于初末位置。 功与路径无关，只决定于初末位置。
第三章 动量守恒和能量守恒 3
∵ W A → O = − ( E pO − E pA ) = − ∆ E P
o
x1
x
x2
}⇒
− ( E pO − E pA ) = −
1 2 kx 2 2
令O点的势能为0，即：E pO = 0 点的势能为0
所以 E PA
1 2 1 2 = − kx2 所以弹性势能为：E P = − kx 所以弹性势能为： 弹性势能为 2 2
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
Fx = x + 2 y + z + 5, Fy = 2 x + 2 y + z, Fz = x + 2 y + z − 6
x = cos θ , y = sin θ , z = 7θ
解： （1）证明力为保守力 ） 设质点在如力设质点从θ 设质点在如力设质点从 1（x1，y1，z1）到θ2 运动。此过程中力的功为： （x2，y2，z2）运动。此过程中力的功为：
功与路径无关，只决定于初末位置，得证。 功与路径无关，只决定于初末位置，得证。 （2）求从 ）求从θ=0到θ=2π运动力对质点所作的功 到 运动力对质点所作的功
∵ x = cos θ , y = sin θ , z = 7θ ∴当θ = 0时, x = 1, y = 0, z = 0;当θ = 2π时, x = 1, y = 0, z = 14π
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
(2) 弹性力作功 )
F
o
F = − kx i
x
P
x
= F ⋅ d r = − kx i ⋅ dxi d r = dx i dW = − kx ⋅ dx x2 x2 1 2 1 2 W = ∫ dW = ∫ − kxdx = −( kx2 − kx1 ) x1 x1 2 2
z = 0, Ep = 0
x = 0, Ep = 0
第三章 动量守恒和能量守恒
r → ∞, Ep = 0
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
五 势能的求解方法
例题： 例题：设质点在如下保守力
Fx = x + 2 y + z + 5, Fy = 2 x + 2 y + z, Fz = x + 2 y + z − 6
θ2
W = ∫ F ⋅ dr = ∫
θ1
θ2
θ2
θ1
(F dx + F dy + F dz )
x y z
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3-5 保守力与非保守力 势能 θ2
1 2 1 2 1 2 W = ∫ d 2( xy ) + zx + yz + x + y + z + 5 x − 6 z θ1 2 2 2 θ2 1 2 1 2 1 2 = 2( xy ) + zx + yz + x + y + z + 5 x − 6 z 2 2 2 θ1 x = cos θ , y = sin θ , z = 7θ
1 2 1 2 1 2 W = 2(xy ) + zx + yz + x + y + z + 5 x − 6 z 2 2 2 1, 0 , 0
1, 0 ,14 π
= 98π 2 − 70π
第三章 动量守恒和能量守恒
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3-5 保守力与非保守力 势能 时为势能零点） （3）势能为（设当 ）势能为（设当θ=2π时为势能零点） 时为势能零点
引力势能 引力势能
m' m Ep = −G r
弹性势能 弹性势能
弹力的功 弹力的功
W AB 1 1 2 2 = − ( kx B − kx A ) 2 2
1 2 E p = kx 2
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第三章 动量守恒和能量守恒
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3-5 保守力与非保守力 势能 -
保守力的功 W = − ( E p 2 − E p1 ) = − ∆ E P 势能计算 利用保守力所作的功， 利用保守力所作的功，只能计算势能的变化 令 Ep0 = 0
的作用下沿螺旋线 x = cos θ , y = sin θ , z = 7θ 运动。 从θ=0到θ=2π运动。 到 运动 （1）证明力为保守力 ） （2）求力对质点所作的功 ） 时为势能零点） （3）势能为（设当 ）势能为（设当θ=2π时为势能零点） 时为势能零点
第三章 动量守恒和能量守恒 15
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r
m' m EPA = −G rA