m' m E p G r
Ep
Ep
Ep
O
x
O
z
O
x
弹性势能曲线 引力势能曲线
重力势能曲线
z 0, Ep 0 x 0, Ep 0
3-5 保守力与非保守力
r , Ep 0
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物理学
第五版
Ep mgz
1 2 Ep kx 2
2.25
4y x 6
2
1
O
3 X
A2
x2 , y2
x1 , y1
( Fx dx Fy dy )
y2 y1
2 ydx 4dy
x1
x2
做 功 与 路 径 有 关
94 1 ( x 6)dx 4dy 21.25 J 2 2 1 3
3-5 保守力与非保守力
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( 2)
弹性力作功
F
' F
P
o
弹性力 F kxi
WAB Fdx
xA xB xB xA
x
x
dW kx dx
1 2 1 2 kxdx ( kx B kx A ) 2 2
3-5 保守力与非保守力
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二
保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
2
2. 质点的运动轨道为直线 4 y x 6
Y x2 4 y
2.25
4y x 6
2
1
O
3 X
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3-5 保守力与非保守力
物理学
第五版
A F dr
A
B
Fx dx Fy dy Fz dz
b a
Y x2 4 y
2.25
1
2
保守力：某些力对质点做功的大小只与质 点的始末位置有关，而与路径无关。这种 力称为保守力。
m 'm m 'm ) (G ) 引力的功 Wab (G rb ra
弹力的功 Wab
1 2 1 2 ( kx b kx a ) 2 2
3-5 保守力与非保守力
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m 'm m 'm Wab (G ) (G ) rb ra
若选势 能零点
重力势能 引力势能
弹性势能
3-5 保守力与非保守力
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第五版
保守力的功 W (Ep2 Ep1 ) EP 注意： 保守力作正功，势能减少．
势能是状态的函数 Ep Ep ( x, y, z)
势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关，但势能差与势能零点 选取无关．
势能是属于系统的．
3-5 保守力与非保守力
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已知势能函数，可以计算保守力 由 W ( E E ) E p2 p1 p (1) d W d Ep
对一维运动，当物体在保守力F的作用下 沿ox轴发生位移dx时，保守力所做的功为
dr r dr
B
m' m dW F dr G 2 er dr r
3-5 保守力与非保守力
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m从A到B的过程中 F 作功： B m'm WAB F dr G 2 er dr A r
4y x 6
A1
x2 , y2
x1 , y1 x2
( Fx dx Fy dy )
y2 y1
O
3 X
2 ydx 4dy
x1
94 x2 dx 4dy 10.8 J 2 2 1 3
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Y x2 4 y
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三
势能
与物体的位置相联系的系统能量称为势 能，常用Ep表示。 保守力的功是势能变化的量度：
物体在保守力场中a、b两点的势能Epa、 Epb 之差等于质点由a点移动到b点过程中保守 力做的功Wab：
3-5 保守力与非保守力
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如：
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3-5 保守力 势能
3-5 保守力与非保守力
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一 万有引力和弹性力作功的特点
(1) 万有引力作功
m' 对m 的万有引力为
m' m F G 2 er r
m 移动dr 时，F作元功为
A
rA e
m'
r
r
rB
m
dr
3-5 保守力与非保守力
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例1 ：试证明重力是保守力
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
Aab mg dr
a b
b
(mg )k (dxi dyj dzk ) a zb Z mgdz
za
dr

mgza mgzb
初态量 末态量 可见，重力是保守力。 X

a
O
b
mg
Y
3-5 保守力与非保守力
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例2 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N ) 在下列情况下求质点从 x1 2(m) 处运动到 x2 3(m )处该力作的功：
1. 质点的运动轨道为抛物线 x 4 y
d W F cos d x Fx d x (2) d Ep 由（1）（2）两式得： Fx dx 结论： 保守力沿某坐标轴的分量等于势能对 此坐标的导数的负值。
3-5 保守力与非保守力
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四
势能曲线
Ep mgz
1 2 Ep kx 2
A
rA e
m'
r
er dr er dr cos dr
WAB m'm G 2 dr rA r
rB
r
rB
m
dr
dr r dr
B
WAB
1 1 Gmm( ) rB rA
3-5 保守力与非保守力
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l
ACB
F dr
ACB
ADB
F dr
A
F dr
F dr
F dr
C
BDA
W F dr 0
l
D B
上式表明：质点沿任意闭合路径运动一周时， 保守力对它所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关。 （例如摩擦力）