在x、y方向的微小位移增量为 ΔX 、ΔY则：
– 数字积分法直线插补
? 设在XY平面上有一直线OA，直线的起点在原 点，终点A的坐标为（Xe,Ye），现要对直线OA 进行插补。
? X ? vx? t
? Y ? vy? t
L ? Xe2 ? Ye2
vx
?
v L
Xe
? X ? kXe? t
n
? Xe ? k Xe ? kXen i?1
Vx = K ? Xe
引入比例系数 K，有
Vy = K ? Ye
（2）
将(2)式代入(1)式，即为坐标轴位移增量
Δx = K ?Xe ?Δt Δy = K ?Ye ?Δt
（3）
位移量为
? ? x ?
t
0 KX e dt ?
n
KXe ?t
i?1
? ? t
n
y?
0 Ky e dt
?
Ky e ? t
i?1
数字积分插补法
1、基本概念 采用积分运算实现插补，又称DDA法。 DDA(Digital Differential Analyzer)
2、优点 易于实现多维插补和原有系统多个坐标轴 联动的扩充,尤其多坐标联动的数控系统
数字积分原理
? S= tn Ydt t0
? ? S=
tn Ydt ?
t0
n?1
Yi? ti
解3:初始y化 m=xe=5 Σy=0 累加增量为
5
4
3
E
2
1
0 1 2 34 5
x
累加次数 n 1 2
3 4
5 END
累加求和 ye+Σy→Σy
3+0=3 3+3=6
3+1=4 3+4=7
3+2=5
判别 Σy≥m?
3<5 6>5 6-5=1→Σy 4<5 7>5 7-5=2→Σy 5=5
脉冲溢出 Δy Δx 01
11 01 11
11
例3中， Σy=m/2=2
累加次数
累加求和
n
ye+Σy→ Σy
1
3+2=5
2
3+0=3
3
3+3=6
4
3+1=4
5
3+4=7
判别 Σy≥m? 5=5 5-5=0→Σy
3<5 6>5 6-5=1→Σy
4<5 7>5 7-5=2→Σy
脉冲溢出
Δy
Δx
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
与例三比较，两次插补轨迹分别如图所示
i. 累加 1/k次后，x 、y方向同时到点溢出的
脉冲总数
X=Xe,Y=Ye
ii .K与m互为倒数关系 ，m必须是整数 ,
故K必是小数。
确定m(K)：
方法1：
每次累加，在每个轴上最多只能产生一个进给脉冲。
式(2)中的Δx ,Δy相同地要小于等于一个脉冲当量，
即要求
KXe≤1 KYe≤1
(Ⅰ)
Xe,Ye的最大允许值受系统字长的限制 ,假设系统
i?0
n?1
S ? ? Yi i? 0
一、DDA直线插补
设对直线 OA进行脉冲分配
y
起点O(0,0) ，终点 E(xe,ye)
A(xe，ye)
直线方程 y/x=ye/xe
V Vy
对t求导
dv/ dt ? ye
dx/ dt xe 0
即 Vy/Vx=Ye/Xe
Vx
x
令动点P，在x、y轴方向的速度分别是 Vx、Vy,
5
4
3
E
2
1
0 1 2 34 5
x
二、DDA圆弧插补
以第I象限顺圆为例
y
E
V Vy
圆方程为： x 2+y 2=r 2
Vx
对时间t求导
dx / dt ? ? y ? ? ky dy / dt x kx 0
Ax
由此设出第 I象限顺圆坐标轴方向的速度分量为
Vx = Ky
Vy = －Kx
此式说明，速度分量是随动点变化的。
坐标轴位移增量
? x ? Ky? t
? y ? ? Kx? t
位移量
n
x ? ?kydt? ? Kyi?t
取单位时间 Δt=1
则：
i ?1
?
? ??
x
?
?
?
? ??
y
?
n
Ky i
i?1
n
? Kx i
i?1
（4）
由此构成如图所示的插补原理框图
Δt
插补迭代 控制脉冲
X轴被积函数寄存器
＋ X积分累加器 Y积分累加器
vx ? Xe vL
vy
?
v L Ye
vy ? Ye vL
? Y ? kYe? t
n
? Ye ? k Ye ? kYen i?1
ΔX = Vx ·Δt ΔY = Vy ·Δt
（1）
假定进给速度 V是均匀的，即 V为常数，对于直线 函数来说 ,其分速度Vx、Vy必为常数 ,且有下式
Vx ? Xe Vy ye
字长为m，则Xe、Ye的最大允许值为 2?-1，若取
1
K= 2? ,则必然满足(I)式的条件。
方法2： 假设Xe>Ye,即X轴累加溢出脉冲总数多于 Y轴,
累加最有效的情况是 ,每次累加,X轴都有脉冲溢
出,Y轴则不一定 ,于是选累加次数 m=Xe，则
K= 1/Xe.将(3)式改写成：
? ? x ?
1 m
推广到P个坐标轴同时插补的情况。
设有x1、x2……xp个坐标轴同时插补，则令
m=max {x1,x2,^xp}，m对应的轴 xm称为
主导轴每次累加，主导轴必有脉冲溢出，
而其余轴
? x j
?
1 m
n
x je
i?1
即以终点坐标作为被积函数 (增量)进行累加，
累加结果大于或等于 m时,产生溢出,发出一个
取单位时间 Δt=1，则公式化为
?
? ??
? ?
? ??
X? y?
n
KX
i?1
n
Ky e
i?1
e
（3）
累加多少次，才能达到加工终点呢？K=？
设经过m 次累加后，达到终点，由 (3)式知，
m次累加后
X = m ?K ?Xe = Xe
Y = m ? K ?Ye = Ye
于是，必须使
m ? k=1，或 m=1/k
n
Xe
i?1
?
1 xe
n
Xe
i?1
? ? y ?
1 m
n
Ye
i?1
?
1 xe
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ye
i?1
每次累加 1.X轴必有脉冲溢出 ,(不必要进行累加计算 ) 2.Y轴的累加结果大于或等于 m(Xe)时才产生
溢出,发出一个脉冲 ,故m又称为溢出基值 .
溢出余值 m
作为是否有脉冲溢出的判别条件 作为终点判别条件
＋ Y轴被积函数寄存器
X轴
ΔX 溢出脉冲 ΔY Y轴
溢出脉冲
累加多少次才能达到终点？K=？
考虑用半径 r的数字量作为溢出余值 k=1/r.
于是(4)式变为：
? x ?
1 r
n i?1
yi
? y
?
?
1 r
n i?1
xi
x,y的增量值分别为 y,x轴的动点坐标值 (yi,xi)
脉冲,当经m次累加计算后 ,主导轴xm 达到终点。
? 此时，
xj
?
1 m
n
x je
i?1
?
1 m
?mx
je
?
x je
即其余各轴也同时到达了终点。
优点
1.减少了一个坐标轴 (主导轴)的累加运算
2.保证了每次累加必有脉冲输出
3.提高了脉冲发生率 4.减少了插补程序的长度和插补运算时间
例3 设有直线OE，起点在原点，终点 E(xe=5,ye=3) 用DDA法实现插补。