北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.设集合A={x|x>0}，B={x|x2+2x−15<0,x∈Z}，则A∩B=()A. {1,2}B. {1,2，3}C. {1,2，3，4}D. {1,2，3，4，5}2.不等式|3−x|<2的解集是()A. {x|x>5或x<1}B. {x|1<x<5}C. {x|−5<x<−1}D. {x|x>1}3.下列函数中，既为偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A. y=1xB. y=−x12C. y=x−2D. y=x24.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为31，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是()A. x=9B. y=8C. 乙得分的中位数为26D. 乙得分的方差小于甲得分的方差5.已知p：“a>100”，q：“log a10<12”，则p是q的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)={2x,x≥2,(x−1)3,x<2,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (−1,1)B. (0,1)C. (0,1]D. (−1,0)>1的一个充分不必要条件是()7.xyA. x>yB. x>y>0C. x<yD. y<x<08.世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010，100.0075≈1.017)()A. 1.5%B. 1.6%C. 1.7%D. 1.8%二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.若指数函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(3,8)，则f(−1)的值为______．10.函数f(x)=√−1+lnx的定义域是____________．11.已知平面向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，则2a⃗+3b⃗ =______ ．12.已知函数f(x)=2x−3x，则函数f(x)的零点个数________．13.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图(如图).从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是__________米．14.已知f(x)=([x]+1)2+2，其中[x]表示不超过x的最大整数，则f(−2.5)=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.某校高一年级500名学生中，血型为O的有200人，血型为A的有125人，血型为B的有125人，血型为AB的有50人.为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，应如何抽样？写出血型为AB的抽样过程．16.已知函数f(x)满足f(x+1)=x2−13f(3)．(1)求f(x)解析式；(2)当x∈(−2,−12)时，不等式f(a)+4a<(a+2)f(x2)恒成立，求a的取值范围．17.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x <1y的充要条件是xy>0．18.已知函数，g(x)=g(x+2)，且当x∈[−1,1]时，g(x)=|x|，当f(x)有3个零点时，求实数a的取值范围.(需要用作图来说明理由)19.设函数f(x)=31−x−1，函数g(x)=ax2+5x−2a．(1)求f(x)在[0,1]上的值域；(2)若对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|−5<x<3,x∈Z}={−4,−3,−2,−1,0，1，2}；∴A∩B={1,2}．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：∵|3−x|<2，∴−2<x−3<2，∴1<x<5，∴不等式|3−x|<2的解集是{x|1<x<5}．故选B．利用绝对值不等式的解法即可求得不等式|3−x|<2的解集．本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查幂函数的奇偶性与单调性.属于基础题．逐个判断即可得出答案．为奇函数，故不符合题意;【解答】解：对于A，y=1x对于B，y=−x12是非奇非偶函数，不符合题意;对于C，y=x−2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意;对于D，y=x2是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，不符合题意．故选C．4.答案：B解析：本题给出茎叶图和众数、中位数、平均数．着重考查了茎叶图的认识，以及中位数和极差的定义、求法等知识，属于基础题．解：∵甲得分的极差为31，最小值为8，∴最大值为31+8=39，即x=9，故A正确；∵乙得分的平均值为24，∴12+25+26+m+315=24，解得m=26，即y=6，故B错误；乙得分为：12，25，26，26，31，中位数和众数都为26，故C正确；乙数据分布相对甲数据集中，故乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确．故选B．5.答案：B解析：解：q：“log a10<12”，可得：10<√a，或0<a<1，解得a>100，或0<a<1，∴p是q的充分不必要条件．故选：B．q：“log a10<12”，可得：10<√a或0<a<1，解得a范围．即可判断出结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查方程根的存在性及根的个数判断，数形结合是解决本题的强有力工具，属于中档题．数形结合：要使方程f(x)=k有两个不相等的实根，只需y=f(x)与y=k的图象有两个交点，作出函数f(x)={2x (x≥2)(x−1)3 (x<2)的图象，根据图象即可求得k的范围．解：函数f(x)={2x(x≥2)(x−1)3(x<2)的图象如下图所示：由图可得：当k∈(0,1)时，y=f(x)与y=k的图象有两个交点，即方程f(x)=k有两个不同的实根，故选B．7.答案：B解析：解：∵x>y>0⇒x y>1，xy>1⇒x>y>0或x<y<0，∴xy>1的一个充分不必要条件是x>y>0．故选：B．由x>y>0⇒x y>1，x y>1⇒x>y>0或x<y<0，知x y>1的一个充分不必要条件是x>y>0．本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要注意不等式的合理运用．8.答案：C解析：解：假设每年人口平均增长率是x，∵世界人口在过去40年内翻了一番∴(1+x)40=2则40lg(1+x)=lg2lg(1+x)=0.301040≈0.0075∴x=1.7%，即每年人口平均增长率是1.7%，故选：C．假设每年人口平均增长率是x%，根据世界人口在过去40年内翻了一番，然后取对数求出所求即可．本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用取对数求值等有关问题，属于中档题．9.答案：12解析：本题考查指数函数的性质和函数图象恒过点问题，考查函数解析式，是基础题．先根据指数函数过点(3,8)，求出a的值，再代入计算即可．因为指数函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(3,8)，∴8=a3，解得a=2，∴f(x)=2x，∴f(−1)=2−1=1，2故答案为1．210.答案：[e,+∞)解析：本题考查函数的定义域，属于基础题．解：因为f(x)=√−1+lnx，所以−1+lnx≥0，即lnx≥1，所以x≥e所以定义域是[e,+∞)，故答案为[e,+∞).11.答案：(−4,−8)解析：解：因为平面向量a⃗=(1,2),b⃗ =(−2,m)，且a⃗//b⃗ ，所以1×m−(−2)×2=0，m=−4，所以2a⃗+3b⃗ =2(1,2)+3(−2,−4)=(−4,−8)．故答案为：(−4,−8)．通过向量的平行，求出m，然后直接求解2a⃗+3b⃗ 即可．本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力．12.答案：2解析：本题考查函数值的求法及零点个数问题，比较基础．画出函数y=2x与函数y=3x的图象，即可确定出零点的个数．解：由已知函数f(x)=2x−3x，由于函数y=2x与函数y=3x有两个交点，函数f(x)的零点个数为2．故答案为2．13.答案：50解析：由频率分布直方图可得，当水位大于50米的频率为1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米．14.答案：6解析：解：∵f(x)=([x]+1)2+2，其中[x]表示不超过x的最大整数，∴f(−2.5)=([−2.5]+1)2+2=(−3+1)2+2=6．故答案为：6．由已知得f(−2.5)=([−2.5]+1)2+2=(−3+1)2+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.答案：解：根据题意知用分层抽样方法抽样．∵40500=225，∴200×225=16，125×225=10，50×225=4．故O型血抽16人，A型血抽10人，B型血抽10人，AB型血抽4人．解析：由题意知从500名学生中抽取一个容量为40的样本，采用分层抽样，可以知道每个个体被抽到的概率，用每一种血型的人数乘以概率得到每种血型所要抽取的人数，得到结果．16.答案：解：(1)令x=2，得f(3)=4−13f(3)，∴f(3)=3，令x+1=t，则x=t−1，∴f(t)=(t−1)2−1=t2−2t，∴f(x)=x2−2x．(2)由(1)知f(a)=a2−2a，即a2+2a<(a+2)f(x2).当a+2=0时，a2+2a<(a+2)f(x2)，显然不合题意．当a+2>0时，a2+2a<(a+2)f(x2)可转化为a<f(x2)=(x2−1)2−1．∵x∈(−2,−12)，∴x2∈(14,4)，∵f(x2)=(x2−1)2−1，∴当x2=1即x=−1时，f(x2)取得最小值−1．∴a<−1，∵a+2>0，∴−2<a<−1．当a+2<0时，a2+2a<(a+2)f(x2)可转化为a>f(x2).∵当x∈(−2,−12)时，f(x2)<8，∴a ≥8，又a <−2，不合题意．综上，a 的取值范围为(−2,−1)．解析：本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．(1)求出f(3)，通过换元求出函数的解析式即可；(2)通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质确定a 的范围即可．17.答案：证明：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y ．必要性：由1x <1y ，得1x −1y <0，即y−x xy <0． 因为x >y ，所以y −x <0，所以xy >0．所以1x <1y 的充要条件是xy >0．解析：本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义即可证明．解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．18.答案：解：由，g(x)=g(x +2)知函数g(x)的周期为2．函数有3个零点， 即在(0,+∞)上有三个不等实根， 设，g(x)=|x|， 则原问题等价于函数的图象与g(x)=|x|的图像有三个不同的交点． 当a >1时，在同一坐标系中作出，g(x)=|x|的图像，如图：所以，只需{ℎ(3)<1g(5)>1，即，解得3<a <5;当0<a <1时，显然不合题意．综上可知，实数a的取值范围为(3,5)．解析：本题考查函数的零点与方程根之间的关系，考查函数图像在解题中的应用，属中档题．函数有3个零点，即在(0,+∞)上有三个不等实根，设，g(x)=|x|，则原问题等价于函数的图象与g(x)=|x|的图像有三个不同的交点．分a>1，0<a<1两种情况，在同一坐标系中作出，g(x)=|x|的图像，结合计算求出实数a的取值范围．19.答案：解：(1)∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f(x)min=f(1)=0，f(x)max=f(0)=2，∴f(x)在[0,1]上的值域[0,2]…..(4分)(2)f(x)在[0,1]上的值域[0,2]，函数g(x)在[0,1]上的值域D，则[0,2]⊆D．①a=0，g(x)=5x，值域[0,5]，符合条件；…(6分)②a>0，对称轴x=−52a<0，∴函数g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)max=g(1)=5−a由5−a≥2，∴a≤3，∴0<a≤3…..(8分)③a<0，对称轴x=−52a>0当0<−52a < 1即a<−52时，最小值在x=0或x=1处取，不合题意当−52a ≥1即−52≤a<0时，函数g(x)在[0,1]上单调递增，不合题意….(12分)综上，a∈[0,3]…(13分)解析：(1)利用f(x)在[0,1]上单调递减，可求函数的值域；(2)对于任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)=f(x1)成立转化为两个函数值域的关系M⊆N，列出不等式求出a的范围．本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。