.

. 第二讲：函数的单调性

一、定义：

1.设函数)(xfy的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有),()(21xfxf那么就说)(xf在区间D上是增函数.区间D叫)(xfy的单调增区间.

注意：增函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121xxxfxfxfxfxx;

难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？

（2）函数单调性的定义中有三个核心①21xx②)()(21xfxf③ 函数)(xf为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？

2. 设函数)(xfy的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值21,xx，当21xx时，都有),()(21xfxf那么就说)(xf在区间D上是减函数.区间D叫)(xfy的单调减区间.

注意：(1)减函数的等价式子：0)()(0)]()()[(21212121xxxfxfxfxfxx；

(2)若函数)(xf为增函数，且)()(,2121xfxfxx则.

题型一：函数单调性的判断与证明

例1.已知函数)(xf的定义域为R，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量21,xx都有.0)()(2121xxxfxf则（ ）

A.)(xf在这个区间上为增函数 B.)(xf在这个区间上为减函数

C.)(xf在这个区间上的增减性不变 D.)(xf在这个区间上为常函数

.

. 变式训练：定义在R上的函数)(xf对任意120xx都有1)()(2121xxxfxf，且函数)(xfy的图象关于原点对称，若,2)2(f则不等式0)(xxf的解集为___.

例3.证明：函数xxxf3)(在R上是增函数.

变式训练：讨论)0()(axaxxf的单调性.并作出当1a时函数的图象.

变式训练：已知上的单调性，在判断函数)1,0()()(,2)1(2xxfxgxxxf并用定义证明.

易错点：

①

②

③ .

. 题型二：函数的单调区间

难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单调函数吗？

（2）函数xxf1)(的单调减区间是),0()0,(上吗？

例1.（图像法）求下列函数的单调区间

（1）|2||1|)(xxxf. (2)3||2)(2xxxf.

（3）|54|)(2xxxf.

例2.（直接法）求函数xxxf11)(的单调区间.

例3.（复合函数）（2017全国二）函数2()ln(28)fxxx 的单调递增区间是( )

A.)2,( B. )1,( C.),1( D. ),4(

易错点：①区间端点的确认

②多个单调区间的写法

易错点： .

.

变式训练：求下列函数的单调区间.

（1）312xxy （2）652xxy

（3）22311xxy

题型三：抽象函数的单调性问题

例1.设函数)(xf是实数集R上的增函数，令)2()()(xfxfxF.

(1) 证明：)(xF是R上的增函数；

(2) 若,0)()(21xFxF求证：221xx.

例2定义在),0(上的函数)(xf满足下面三个条件：

①对任意正数ba,，都有)()()(abfbfaf；

②当1x时，0)(xf；

③1)2(f.

（1）求)1(f的值；

（2）使用单调性的定义证明：函数)(xf在),0(上是减函数；

（3）求满足2)13(xf的x的取值集合. .

.

题型四：函数单调性的应用

（1）利用函数的单调性比较大小

在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.

①正向应用：

②逆向应用：

例1.xf在,0上单调递减，那么12aaf与43f的大小关系是__________.

变式训练：已知函数),1()1()(xfxfxf满足且对任意的)(1,2121xxxx，有.0)()(2121xxxfxf设),3(),2(),21(fcfbfa则cba,,的大小关系_________.

（2）利用函数的单调性解不等式

例2.设)(xf是定义在]1,1[上的增函数，且)1()2(xfxf成立，求x的取值范围.

易错点： .

. 变式训练.①设)(xf是定义在]3,3[上的偶函数，当30x时，)(xf单调递减，若)()21(mfmf成立，求m的取值范围.

②（2015全国二）设函数)12()(,11)1ln()(2xfxfxxxf则使得成立的x的取值范围是（ ）

A. )1,31( B. ),1()31,( C. )31,31( D. ),31()31,(

③（2018全国一）设函数201 0xxfxx，≤，，则满足12fxfx的x的取值范围

是（ ）

A．1， B．0， C．10， D．0，

（3）根据函数的单调性求参数的取值范围

例1.如果函数1)1(42)(2xaxxf在区间),3[上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A.（1,2） B.（0，2） C.（0，1） D.,2

变式训练：如果函数2)1(2)(2xaxxf在区间)4,[上是减函数，求实数a的取值范围.

例2.若函数0,)2(,0,1)12()(2xxbxxbxbxf在R上为增函数，则实数b的取值范围是__________. 易错点： .

.

例3.若函数||axy在区间]4,(上是减函数，求实数a的取值范围.

第三节：函数的奇偶性

一、知识梳理

1.函数的奇偶性

例1（2014全国二）偶函数)(xfy的图象关于直线2x对称，3)3(f，则)1(f___________．

例2（2017全国二） 已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当(,0)x时，

32()2fxxx，则(2)f__________.

例3（2012全国二）设函数1sin)1()(22xxxxf的最大值为M，最小值为m，则M+m=______.

2. 函数的图象 奇偶性 定 义 图象特点 备注

奇函数 ★★设函数)(xfy的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有x∈D,且

xfxf,则这个函数叫做奇函数 关于原点中心对称 函数)(xf是奇函数且在0x处有定义,则0)0(f

偶函数 设函数)(xfy的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有Dx,且xfxf,则这个函数叫做偶函数 ★关于y轴对称 易错点： .

. (1)平移变换：“上加下减，左加右减”

例4（2010全国二）设偶函数)(xf满足)0(42)(xxfx，则}0)2(|{xfx（ ）

A.}42|{xxx或 B.}40|{xxx或

C.}22|{xxx或 D.}42|{xxx或

(2)对称变换

①)()(xfyxfyx轴对称关于；

②)()(xfyxfyy轴对称关于；

③)()(xfyxfy关于原点对称；

④)10(log)10(aaxyaaayaxyx且且对称关于;

⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于y轴对称.

(3)翻折变换

★★①|)(|)(xfyxfyxx轴下方图象翻折上去轴上方图象，将保留.

例5（2010全国二）已知函数621100|,lg|)(xxxxf, 若cba,,均不相等，且),()()(cfbfaf则cba的取值范围是( )

A.)10,1( B.)6,5( C)12,10( D.)24,20(

例6（2011全国二）已知函数()yfx的周期为2，当[1,1]x时2()fxx，那

么函数()yfx的图象与函数|lg|yx的图象的交点共有（ ）

A．10个 B．9个 C．8个 D．1个

★★★②)||()()(xfyxfyyxfyy轴左侧的图象）在轴对称的图象（去掉原于轴右边图象，并作其关保留.

例7（2011全国二）下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是（ ）

A. 3yx B．||1yx C．21yx D．||2xy

例8（2010大纲）直线1y与曲线axxy||2有四个交点，则a的取值范围