2 线性系统的根轨迹研究
2.1 实验目的
（1）
考察闭环系统根轨迹的一般形成规律。
（2）
观察和理解引进零极点对闭环根轨迹的影响。
（3）
观察、理解根轨迹与系统时域响应之间的联系。
（4） 初步掌握利用产生根轨迹的基本指令和方法。
2.2 实验内容
根轨迹绘制的指令法、交互界面法；复平面极点分布和系统响应的关系。
已知单位负反馈系统的开环传递函数为2
)^54()2()(2+++=s s s K s G K(s+2)/(s^4+8s^3+26s^2+40s+25)，实验要求：
（1） 试用MATLAB 的rlocus 指令，绘制闭环系统根轨迹。
（要求写出指令，并绘出图形。
） G=tf
（2） 利用MATLAB 的rlocfind 指令，确定根轨迹的分离点、根轨迹与虚轴的交点。
（要求写出指令，并给出结果。
）
（3） 利用MATLAB 的rlocfind 指令,求出系统临界稳定增益,并用指令验证系统的稳定性。
（4） 利用SISOTOOL 交互界面，获取和记录根轨迹分离点、根轨迹与虚轴的交点处的关键参数，并与前面所得的结果进行校对验证。
（要求写出记录值，并给出说明。
）
（5） 在SISOTOOL 界面上，打开闭环的阶跃响应界面，然后用鼠标使闭环极点（小红方块）从开环极点开始沿根轨迹不断移动，在观察三个闭环极点运动趋向的同时，注意观察系统阶跃响应的变化。
根据观察，（A ）写出响应中出现衰减振荡分量时的K 的取值范围，（B ）写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K 的取值范围。
（6） 添加零点或极点对系统性能的影响，以二阶系统为例开环传递函数
)
6.0(1)(2s s s G += 添加零点，增加系统阻尼数，超调量减小，在sisotool 界面上做仿真，写出未添加零点时系统的超调量，峰值，调节时间，添加零点后系统的超调量，峰值，调节时间，并写出系统添加零点的数值，并进行理论分析。
(选做)
1）试用MATLAB的rlocus指令，绘制闭环系统根轨迹。
（要求写出指令，并绘出图形。
） MATLAB程序指令：
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25])
sys=feedback(G,1)
rlocus(sys)
图形如图所示：
Root Locus
8
6
4
2
Imaginary Axis0-2
-4
-6
-8Real Axis
（2）利用MATLAB的rlocfind指令，确定根轨迹的分离点、根轨迹与虚轴的交点。
（要求写出指
令，并给出结果。
）
MATLAB程序指令：
1
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25])
sys=feedback(G,1)
rlocus(sys)
rlocfind(sys)
由图所示，根轨迹的分离点处为-2.62，根轨迹与虚轴的交点处，w=3.59。
（3）利用MATLAB的rlocfind指令,求出系统临界稳定增益,并用指令验证系统的稳定性。
MATLAB程序指令：
num=[1 2]
den=[1 8 26 40 25]
G=tf(num,den)
k=0:0.05:200
rlocus(G,k)
[k,POLES]=rlocfind(G)
结果：
Select a point in the graphics window
selected_point =
-6.0059 - 0.0559i
k =
72.5627
POLES =
-6.0063
0.0100 + 3.7504i
0.0100 - 3.7504i
-2.0138
2
由程序的运行结果可得，系统的临界稳定增益k= 72.5627
验证系统的稳定性，可取临界稳定增益k= 72并通过时域分析验证，MATLAB指令如下：
k=72
t=0:0.05:10
G0=feedback(tf(k*num,den),1)
step(G0,t)
由图可见，在k=72时因为极点距虚轴很近，震荡已经很大。
（4）利用SISOTOOL交互界面，获取和记录根轨迹分离点、根轨迹与虚轴的交点处的关键参数，
并与前面所得的结果进行校对验证。
（要求写出记录值，并给出说明。
）
3
MATLAB程序指令：
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25])
rltool(G)
通过点击图
中的小红方块，可得根轨迹的分离点为-2.57，根轨迹与虚轴的交点处w=3.8。
（5）在SISOTOOL界面上，打开闭环的阶跃响应界面，然后用鼠标使闭环极点（小红方块）从开
环极点开始沿根轨迹不断移动，在观察三个闭环极点运动趋向的同时，注意观察系统阶跃响应的变化。
根据观察，（A）写出响应中出现
衰减振荡分量时的K的取值范围，（B）写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K的取值范围。
MATLAB程序指令：
G=tf([1 2],[1 8 26 40 25])
rltool(G)
4
（A）响应中出现衰减振荡分量时的K的取值范围0<k≤71.3
（B）写出该响应曲线呈现“欠阻尼”振荡型时的K的取值范围
0<k≤71.3
（6）添加零点或极点对系统性能的影响，以二阶系统为例开环传递函数
1 G(s)=2(s+0.6s)添加零点，增加系统阻尼数，超调量减小，在sisotool 界面上做仿真，写出未
添加零点时系统的超调量，峰值，调节时间，添加零点后系统的超调量，峰值，
调节时间，并写出系统添加零点的数值，并进行理论分析。
(选做) 未添加零点时，MATLAB程序指令：
G=tf([1],[1 0.6 0])
rltool(G)
5
观察图可
得，超调量σ%=37%，峰值时间tp=3.35s，调节时间ts=8.56s。
添加零点z=-1时，
6
观察图2-11
可得，超调量σ%=0.05%，峰值时间tp=2.99s，调节时间ts=2.09s。
添加零点，增加系统阻尼数，超调量减小。