2020年中考数学二模试卷一．选择题（共12小题）1．5的相反数是（）A．B．5C．﹣D．﹣52．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．2020庚子鼠年，新型冠状病毒席卷全国，据统计，截止到3月8号，全国已有346支医疗队、42600余名医护人员抵达湖北救援，数字42600用科学记数法表示为（）A．0.426×105B．4.26×104 C．4.26×105 D．42.6×103 4．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°6．下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a7÷a4＝a3C．（﹣3a）2＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2﹣17．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8D．极差是48．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A．B．C．D．9．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣11．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．3012．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2B．a＜C．1≤a＜或a≤﹣2D．﹣2≤a＜二．填空题（共6小题）13．分解因式：x2+4x+4＝．14．计算+的结果是．15．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是．16．一个正多边形的中心角等于45°，它的边数是．17．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．则根据图象求小李的速度是km/h．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤PG＝2EF．其中一定成立的是（把所有正确结论的序号填在横线上）．三．解答题（共9小题）19．计算：．20．解不等式组，并写出它的所有整数解．21．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE．22．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲2535乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？23．如图AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB＝6，求PD的长度．24．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．（1）被调查的总人数是人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有人；（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．25．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．5的相反数是（）A．B．5C．﹣D．﹣5【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：根据相反数的定义有：5的相反数是﹣5．故选：D．2．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看是一个矩形中间上面挖去一个矩形，故选：A．3．2020庚子鼠年，新型冠状病毒席卷全国，据统计，截止到3月8号，全国已有346支医疗队、42600余名医护人员抵达湖北救援，数字42600用科学记数法表示为（）A．0.426×105B．4.26×104 C．4.26×105 D．42.6×103 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：42600＝4.26×104，故选：B．4．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．5．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【分析】根据平行线的性质，即可得出∠1＝∠ADC＝30°，再根据等腰直角三角形ADE 中，∠ADE＝45°，即可得到∠1＝45°﹣30°＝15°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ADC＝30°，又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，∴∠1＝45°﹣30°＝15°，故选：B．6．下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a7÷a4＝a3C．（﹣3a）2＝﹣6a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不合题意；B．a7÷a4＝a3，正确；C．（﹣3a）2＝9a2，故本选项不合题意；D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不合题意．故选：B．7．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8D．极差是4【分析】根据众数、中位数、平均数以及极差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确，不合题意；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是：（8+8）＝8，故B选项正确，不合题意；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项错误，符合题意；极差为10﹣6＝4，故D选项正确，不合题意；故选：C．8．实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．【解答】解：因为a＞b且ac＜bc，所以c＜0．选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．故选：A．9．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，故选：D．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：＝，故选：A．11．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB ＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．12．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2B．a＜C．1≤a＜或a≤﹣2D．﹣2≤a＜【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜①当a＜0时，解得：a≤﹣2∴a≤﹣2②当a＞0时，解得：a≥1∴1≤a＜综上所述：1≤a＜或a≤﹣2故选：C．二．填空题（共6小题）13．分解因式：x2+4x+4＝（x+2）2．【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：x2+4x+4＝（x+2）2．14．计算+的结果是．【分析】首先通分，然后根据异分母的分式相加减的法则计算即可．【解答】解：+＝+＝＝故答案为：．15．在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是22．【分析】设袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到方程，解方程即可．【解答】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得＝，解得x＝22，即袋中黑球的个数为22个．故答案为：22．16．一个正多边形的中心角等于45°，它的边数是8．【分析】根据正n边形的中心角是即可求解．【解答】解：正多边形的边数是：＝8．故答案为：8．17．小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离y（km）与小王的行驶时间x（h）之间的函数关系．则根据图象求小李的速度是20km/h．【分析】根据题意，可知甲乙两地的距离是30km，小王从甲地到乙地用的时间为3h，从而可以求得小王的速度，然后根据图象可知，两人1h时相遇，从而可以求得小李的速度，本题得以解决．【解答】解：由图象可得，小王的速度为30÷3＝10（km/h），则小李的速度为：30÷1﹣10＝30﹣10＝20（km/h），故答案为：20．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM 折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤PG＝2EF．其中一定成立的是①④⑤（把所有正确结论的序号填在横线上）．【分析】由折叠的性质，可得∠DMC＝∠EMC，CD＝CE，∠AMP＝∠EMP，AB＝GE，由平角的定义可求∠PME+∠CME＝×180°＝90°，可判断①正确；由折叠的性质可得∠GEC＝180°，可判断②正确；设AB＝x，则AD＝2x，由勾股定理可求MP和PC的长，即可判断③错误，先求出PB＝x，即可判断④正确，由平行线分线段成比例可求PG＝2EF，可判断⑤正确，即可求解．【解答】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，CD＝CE，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，AB＝GE，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正确；∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠D＝∠MEC＝90°，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴DM＝AD＝x，∴CM＝＝x，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴CM2＝CN•CP，∴CP＝＝x，∴PN＝CP﹣CN＝x，∴PM＝＝x，∴＝＝，∴PC＝PM，故③错误，∵PC＝x，∴PB＝BC﹣PC＝2x﹣x＝x，∴＝，∴BP＝AB，故④正确，∵∠MEC＝∠G＝90°，∴PG∥ME，∴，∵AB＝GE＝CD＝CE，∴CG＝2CE，∴PG＝2EF，故⑤正确，故答案为：①④⑤．三．解答题（共9小题）19．计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝2+1﹣1+5＝7．20．解不等式组，并写出它的所有整数解．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．【解答】解：解不等式①得：x≥1，解不等式②得：x＜4，所以，原不等式组的解集是1≤x＜4，它的所有整数解有：x＝1；x＝2；x＝3．21．如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE．【分析】欲证明BF＝DE，只要证明△ABE≌△DCF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE．22．某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲2535乙3548求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【分析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．【解答】解：（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．23．如图AB是⊙O的直径，P A与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AB＝6，求PD的长度．【分析】（1）解法一：要的圆周角定理得：∠ADB＝90°，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论；解法二：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOD＝120°，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论；（2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．【解答】解：（1）方法一：如图1，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA＝90°．∵＝，∴∠BAD＝∠C＝60°．∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°．方法二：如图2，连接DA、OD，则∠BOD＝2∠C＝2×60°＝120°．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣120°）＝30°．即∠ABD＝30°．（2）如图1，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD＝30°，∴DA＝BA＝×6＝3．∴BD＝DA＝3．在Rt△BAP中，∵cos∠ABD＝，∴cos30°＝＝．∴BP＝4．∴PD＝BP﹣BD＝4﹣3＝．24．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承﹣地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．（1）被调查的总人数是50人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为216°；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有180人；（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．【分析】（1）由A的人数除以所占百分比得出调查的总人数；由360°乘以C部分所占的比例即可得出C部分所对应的扇形圆心角的度数；（2）求出B部分的人数，补全条形统计图即可；（3）由该校总人数乘以D类所占的比例即可得出答案；（4）由列表法和概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝216°；故答案为：50；216°；（2）如图所示，总人数为50人，则B的人数＝50﹣5﹣30﹣5＝10（人）；补全条形统计图如图：（3）1800×＝180（人）；故答案为：180；（4）设3个女生分别为女1，女2，女3，2个男生分别为男1，男2，所有可能出现的结果如下表：女1女2女3男1男2女1（女1，女2）（女1，女3）（女1，男1）（女1，男2）女2（女2，女1）（女2，女3）（女2，男1）（女2，男2）女3（女3，女1）（女3，女2）（女3，男1）（女3，男2）男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，男1）从中随机抽取两个同学担任两角色，所有可能的结果有20种，每种结果的可能性都相同，其中，抽到性别相同的结果有8种，所以P（被抽到的两个学生性别相同）＝．25．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；（2）设P（x，0），由三角形的面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2 ，即＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2 ，即＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；综上所述：P（0，1）或P（0，﹣1）．26．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AV的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．【解答】解：（1）①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1﹣1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．（2）如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝．．（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，∴BE＝＝＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵＝，∴BD＝＝．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，易知BE＝1，AE＝4﹣1＝3，∵＝，∴BD＝，综上所述，满足条件的BD的长为或．27．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①S△PBC＝PG（x C﹣x B），即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1…②，设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），S△PBC＝PG（x C﹣x B）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），故点P（﹣，﹣）；当点P（P′）在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），故点P（0，5）；故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．。