微点深化 平面向量与三角函数的综合应
用
平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.
【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].
(1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，
即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6. (2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；
当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.
【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，t 为实数.
(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，0，求t 的值； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2α＋π4的值. 解 (1)因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，0，
所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，
即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.
所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.
因为α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75， 所以sin α＝（cos α＋sin α）－（cos α－sin α）2＝35，所以t ＝sin 2α＝925.
(2)因为t ＝1，且a ·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815
， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π4
1－tan 2α·tan π4＝815＋11－815
＝237. 探究提高 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面：
(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题.
【训练1】 (2018·苏、锡、常、镇调研)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围. 解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，
∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C ).
∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，
∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，12＜sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2＋π6＜1. 又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32. 故f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32. 【训练2】 (2018·南通、扬州等六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a
＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32. (1)若|a ＋b |＝|c |，求sin(α－β)的值；
(2)设α＝5π6，0＜β＜π，且a ∥(b ＋c )，求β的值.
解 (1)因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32， 所以|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β).
因为|a ＋b |＝|c |，所以|a ＋b |2＝c 2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，
所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.
(2)因为α＝5π6，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.依题意，b ＋c ＝⎝
⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32. 因为a ∥(b ＋c )，所以－32⎝
⎛⎭⎪⎫cos β＋32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12＝0. 化简得12sin β－32cos β＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫β－π3＝12.因为0＜β＜π， 所以－π3＜β－π3＜2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.。