(3)tan 2α＝1－2tatannα2α.
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5
3．三角恒等式的证明方法 (1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为 简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明．
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6
4．正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R(2R
为△ABC
外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
专题三 三角函数与平面向量
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1
第 2讲 三角变换与解三角形
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
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2
1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使
用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.
考 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角
情
解 形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合 读 进行综合考查．
行比较.
3
4
3
C.5
D.5 精品
11
解析 ∵sin(α＋π3)＋sin α＝－453，－π2<α<0，
∴32sin
α＋
3 2 cos
α＝－45
3，
∴
3 2 sin
α＋21cos
α＝－54，
∴cos(α＋23π)＝cos
αcos23π－sin
2π αsin 3
＝－12cos
α－
3 2 sin
α＝54.
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20
解 ∵ccooss BC＋2ca＋bc＝0，
∴ccos B＋2acos C＋bcos C＝0， ∴sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0， ∴sin A＋2sin Acos C＝0， ∵sin A≠0，
∴cos C＝－21，∵C∈(0，π)
∴C＝23π，∴c＝sina A·sin C＝ 精3品.
答案 C
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(2)(2014·课标全国Ⅰ)设 α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且 tan α
1＋sin β ＝ cos β ，则( ) A.3α－β＝π2 B.2α－β＝π2
思维启迪 先对已知式子进行变形,
得三角函数值的式子，再 利用范围探求角的关系.
C.3α＋β＝π2 D.2α＋β＝π2
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab .
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C. 精品
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6．面积公式 S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B＝12absin C.
7．解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理 求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解．
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3
主干知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
(3)tan(α±β)＝1t∓atnanα±αttaannββ.
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4
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
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∴由 sin(α－β)＝sin(π2－α)，得 α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.
答案 B
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(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、
正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记
和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现
题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用
思 过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函
θ＝
3， 3
又θ是第二象限角，
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所以 cos θ＝－
1－sin2θ＝－
6 3.
所以1＋cosco2sθ2－θsin 2θ＝2cosc2oθs－2θ－2sisninθ2cθos θ
＝cos2θc＋ossθincθosθco－s sθi－n θsin θ＝cos2θc＋ossθin θ
－ ＝
36＋
维 升
数名的变换，防止出现张冠李戴的情况.
华 (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所
求角的范围尽量缩小，避免产生增解.
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变式训练1
设函数f(x)＝cos(2x＋ π)＋sin2x. (1)求函数f(x)的最小正3周期和最大值；
解 f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x
＝cos
2xcosπ3－sin
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热点分类突破
➢ 热点一 三角变换 ➢ 热点二 解三角形 ➢ 热点三 正、余弦定理的实际应用
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热点一 三角变换
例 1 (1)已知 sin(α＋π3)＋sin α＝－453，－π2<α<0，
则 cos(α＋23π)等于( ) 思维启迪
利用和角公式化简已
A.－45
B.－35
知式子，和cos(α＋ 2 π)进
2xsinπ3＋1－c2os
2x＝12－
3 2 sin
2x.
所以 f(x)的最小正周期为 T精＝品22π＝π，最大值为1＋2
3 .
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(2)若 θ 是第二象限角，且 f(2θ)＝0，求1＋cosco2sθ2－θsin 2θ
的值. 解 因为 f(θ2
sin
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解析 由 tan α＝1＋cossinβ β得csions αα＝1＋cossinβ β，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α).
∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，
∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
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5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
推论：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，
3 3＝
2×－
6 3
6－ 26
3＝2－4
2 .
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热点二 解三角形
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，满足a＝2sin (1)求边c的大小；
A，cos cos
BC＋2ca＋bc
＝0.
思维启迪
将 cos B＋2a＋b ＝0中的边化成角，然后利用和差公 式求ccoossCC，进c而求c c.