利用导数判断函数的单调性
【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用.
【重点、难点】利用导数研究函数的单调性.
【自主学习】
1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数.
2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ）
A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【自测】
求下列函数的单调区间:
(1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x
=+
解：（1）函数的单调递增区间为：()-∞+∞
函数的单调递减区间为：44(,)33
（2）函数的单调递增区间为：(,)-∞+∞
函数的单调递减区间为：(
课内探究案
【精讲点拨】
例1、 求下列函数的单调区间:
（1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =-
解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞
函数的单调递减区间为：(,0)-∞
（2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞
函数的单调递减区间为：(0,1)
例2、 证明：函数16()f x x x
=+
在()0,4上是减函数 证明：222
221616()1(0,4)16
160
0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴函数在（）上是减函数
例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。

解：232y x x m '=++
4120
13R R m m '∴≥∴∆=-≤∴≥2函数在上是增函数
y =3x +2x+m 0在上恒成立
【当堂检测】 函数11
y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案
课后拓展案
A 组
1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。

解：函数的递增区间：
∞∞（-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。

解：函数的定义域(0,)+∞
2
()22()20,1,010
(0,1)
f x x x
f x x x x x x '=-'=-
<<-<<>∴令得函数的递减区间是： 3、证明：函数34
y x =-在(),4-∞上是减函数。

2
3
(4)0
x '-'<∴∞证明：y =-当x<4时,y 函数在(-,4)上是减函数
B 组
1、函数x e x x f )3()(-=的增区间是 (2,)+∞ 。

2、求函数()ln f x x x =的单调区间。

解：（1）函数的单调递增区间为：1(,)e
+∞ 函数的单调递减区间为：1(0,)e
C 组 证明函数211()2f x x x
=+在()1,+∞上是增函数。

证明：322311()1,1
()0
()(1,).x f x x x x
x x f x f x -'=-=>>'∴>∴+∞当时函数在上是增函数
利用导数判断函数的单调性教学案
课后拓展案（2）
A 组
1、函数13)(23+-=x x x f 的减区间为 。

2、函数x y e ex =-的增区间为 。

3、函数()ln 3y x x =-的减区间为 。

4、求函数()2263
x f x x -=
+的单调区间。

5、已知函数53
123-++=ax x x y 在()+∞∞-,是单调函数，求a 的取值范围。

B 组 1、函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（ ）
A ．)23,2(ππ
B ．)2,(ππ
C ．)25,23(ππ
D ．)3,2(ππ
2、若函数x ax x f ln )(-=在()0,1上是减函数，求实数a 的取值范围。

C 组
设()21
x t f x x +=+在()2,+∞上是增函数，求t 的取值范围。