1
0 0 0
0 0
1 ( x)
0
( x) f ( x) H3 ( x) K( x)(x x0 )2 ( x x1 )2 0
i 0 ,1
因此(t )至少有 5个零点
连续使用4次Rolle定理，可得， 至少存在一点 [ x0 , x1 ] 使得
( 4 ) ( ) 0
即
( 4) ( ) f ( 4) ( ) 4! K ( x) 0
0, i j i ( x j ) ij , i( x j ) 0, 1, i j i ( x j ) 0, i( x j ) ij , (i, j 0,1)
( xi ) mi , (i 0,1) H3 ( xi ) yi , H3 H3 ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
§
5.4 埃尔米特（Hermite）插值
--要求在节点处两者相切，即导数值相等.
, xn b处的函数值为f 0 , f1, , fn ,
设f ( x)在节点 a x0 , x1,
设P( x)为f ( x)的在区间 [a, b]上的具有一阶导数的插 值函数
(1) 若要求P( x)在[a, b]上具有一阶导数 (一阶光滑度 )
f0 2, f1 3
f 0 0, f1 1
H3 ( x) f 00 ( x) f11 ( x) f00 ( x) f11 ( x)
x x1 x x0 x x1 f 0 1 2 x x f1 1 2 x x x x 1 1 0 0 0 1 x x0 x x1 x x1 f f0 x x0 1 x x x x 0 1 1 0
0 0
1 ( x)
0
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x1 x0 x0 x1
2
类似地，将 x0 , x1 互换，可得
x x1 x x0 1 ( x ) 1 2 x x x x 0 1 1 0
P ( xi ) f ( xi ) f i P ( xi ) f ( xi ) f , i 0,1, ,n
P( x)可以是最高次数为 2n 1次的多项式
两个节点就可以用 2 1 1 3次多项式作为插值函数
(2) 同样, 若要求P( x)在[a, b]上具有m阶导数(m阶光滑度 ) 即P( x)在节点 x0 , x1 ,, xn处必须满足
并给出余项公式。
( x1 ) m1, (i 0,1,2), H3 ( xi ) yi , H3 H3 ( x) y00 ( x) y11( x) y22 ( x) m11( x)
函数值
导数值
x0
x1
0
1
x2
0 0
1
x1
0 0 0
1
0 ( x)
1( x)
2 ( x )
x x1 x x0 1 ( x) 1 2 x x x x 0 1 1 0
2
x x1 0 ( x) ( x x0 ) x x 0 1
2
x x0 1 ( x) ( x x1 ) x1 x0
2 2
x x0 x x 0 1
2
2
2 H 3 ( x) 21 2( x 1) x 2 2 31 2( x 2) x 1
x 2 x 12
3 x 3 13x 2 17x 9
f (1.5) H 3 (1.5) 2.625 f (1.7 ) H 3 (1.7 ) 2.931
2
由于0 ( x0 ) 0 ( x1 ) 0( x1 ) 0, 故 0 ( x) 含有 ( x x0 )( x x1 ) 因子。可设
0 ( x) c( x x0 )( x x1 )2
2
其中c为待定系数。
1 . 由 0( x0 ) 1, 可得 c 2 ( x0 x1 )
称 H3 ( x) 为三次Hermite插值多项式，上述条件称 为此问题的插值条件。
采用基函数的方法来构造 H3 ( x) 。
将 H3 ( x) 表示为：
H3 ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
其中 0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)为插值基函数，且均为次数 不超过3的多项式。为满足插值条件，它们应满足
5.4.2 三次Hermite插值
--考虑只有两个节点的三次Hermite插值
已知插值节点 x0 , x1 上的函数值及导数值分别 为
yi f ( xi ), mi f ( xi ), (i 0,1),
要求的是一次数不超过3的多项式 H3 ( x) ，使满足
( xi ) mi , (i 0,1). H3 ( xi ) yi , H3
x0 , x1均为R3 ( x)的二重零点 ,因此可设
R3 ( x) K ( x)(x x0 )2 ( x x1 )2
其中K ( x)待定
构造辅助函数
均是 二重零点
(t ) f (t ) H3 (t ) K( x)(t x0 )2 (t x1 )2
( xi ) f ( xi ) H3 ( xi ) K( x)(xi x0 )2 ( xi x1 )2 0
两点三次Hermite插值的余项
两点三次Hermite插值的误差为
R3 ( x) f ( x) H 3 ( x) R3 ( xi ) f ( xi ) H 3 ( xi ) 0 ( xi ) f ( xi ) H 3 ( xi ) 0 R3
i 0 ,1
其中a，b为待定系数。
1 . 由 0 ( x0 ) 1, 可得 a 2 ( x0 x1 ) 2 . ( x0 ) 0, 可得 b 由 0 3 ( x0 x1 )
将a，b代入得
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x1 x0 x0 x1
函数值
导数值
x0
x1
0
1
x0
0 0
1
x1
0 0 0
1
0 ( x)
1( x)
0 ( x )
1
0 0 0
0 0
1 ( x)
0
0 ( x ) 2 ( x x ) ( x1 ) 0, 故 0 ( x)含有 由于 0 ( x1 ) 0 因子。可设 1
0 ( x) (a b( x x0 ))( x x1 )2
x x1 0 ( x ) ( x x0 ) x0 x1
2
类似地，将 x0 , x1 互换，可得
x x0 1 ( x ) ( x x1 ) x1 x0
2
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x1 x0 x0 x1
例. 已知f ( x)在节点1 ， 2处的函数值为f (1) 2, f (2) 3
f ( x)在节点1， 2处的导数值为f (1) 0, f (2) 1
求f ( x)的两点三次插值多项式 , 及f ( x)在x 1.5,1.7处的函数值 .
解:
x0 1, x1 2
2
三次Hermite插值多项式 H3 ( x) 的表达式为
H3 ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
可以证明，其余项为
f (4) ( ) R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 , 4! 其中 介于 x0 , x1 之间。
2
( xi ) mi , (i 0,1) H3 ( xi ) yi , H3 H3 ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
函数值
导数值
x0
x101源自x00 01x1
0 0 0
1
0 ( x)
1( x)
0 ( x )
1
0 0 0
P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi
P ( m ) ( xi ) f ( m ) ( xi ) f i ( m )
i 0 ,1, , n
定义. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值， 称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项式， 记为 H k ( x) ,k为多项式次数.
作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有 可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题， 我们可以使用分段两点三次Hermite插值
例1 对给定数表
x
y
x0 y0
x1 y1 m1
x2 y2
y
求一个三次Hermite插值多项式 H3 ( x) 满足条件
( x1 ) m1, (i 0,1,2), H3 ( xi ) yi , H3
f ( 4 ) ( ) K ( x) 4!
所以,两点三次Hermite插值的余项为
f ( 4 ) ( ) R3 ( x ) ( x x0 )2 ( x x1 )2 4!
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f ( x)在[ x0 , x1 ]上存在时 , 上述余项公式成立