g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
这样的插值多项式是否存在并且唯一呢？对此，有如下结论：
定理 (唯一性) 满足 P (x i)yi,i0 ,..,n .的 n 阶插值多
项式是唯一存在的。 证明： ( p.105-106 利用Vandermonde 行列式论证)
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Q n(x)P n(x)L n(x),则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
X
X0
X1
…
Xn
F(x)
F(x0)
F(x1)
…
F(xn)
这都会给研究带来困难。如何解决这类问题？当函数f(x)
比较复杂或根本无法写出解析式时，往往寻求用一个熟悉的
简单函数P(x)的去近似表示f(x),将研究f(x)的问题转化为
研究函数P(x)的问题。
插值 /* Interpolation */
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常 用的插值函数是多…项? 式
插值方法
• 插值多项式定义 • 插值多项式的存在唯一性 • 插值余项 • 基函数构造拉氏插值多项式 • 计算机实现 • 分段线性插值 • 其它插值方法介绍
引例及问题综述
• 引例1 血药浓度问题
为试验某种新药的疗效，医生对某人用快速静脉注射方 式一次注入该药300mg后，在一定时间t(h)采取血样，
Ci
ji
( xi
1 xj)
j0
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
n
Ln(x) li(x)yi i0
插值余项
p ( x ) 作为 f ( 的x ) 近似一定存在误差，用 R(x)f来(x)表p 示(x) 它的截断误差， 也称之R ( x为) 余项。下面，我们导出其具 体表达形式。
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
P1 ( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
= x x1 x0 x1
y0 +
x x0 x1 x0
1
y1 li ( x) yi i0
l0(x)
l1(x)
n1 li(x)
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
【定理2】设 f ( n ) 在( x ) [a,b]上连续， 在f (n(a1) (,xb))内存在，节
点
ax0，x1 是L满x 足n 插b值条p ( 件x ) (2.1)的插值多项式，
则对任何 ，插值余项 x[a, b]
R (x ) f(x ) p (x )f(( n n 1 )1 ()!)(x x 0 )(x x 1 )L (x x n )
(a,b)
注： 通常不能确定 x , 而是估计 , f(n1)(x)Mn1 x(a,b)
将
Mn1 n (n1)!i0
|
xxi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f(n1)(x)0,
可知 Rn(x)0，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？
测 得血药浓度C数据如下
试确定血药浓度C与时间t的函数关系。
引例及问题综述
引例2：标准正态分布函数
x 1
x u2
e 2 du
2
sinxx
sinxx1 x3 3!
x 充分小
引例及问题综述
在生产实际及科学研究中，经常要研究变量之间的函数 关系y=f(x)。若f(x)的表达式很复杂，或f(x)只能用一张 数据表来表示，即只知道f(x)在一系列点x0、 x1、… xn 处的函数值：
500 5
18
解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 x 0
x1
x2
利用
x0x /6 /4 /4 1 2 x /4 /6 /6 1 2
sin
而
501 2 内要0 端s 0 插计L.点0 1 i(通算x 51n ，1 8常的)插3 2 3 优x1 ,值R 0于所1 .7(9 效R 5 71外在1 6(果1x 8 )推的4) 较 。区这f0好(.2 2 选间0 里)(! 。0 x 择的f )( (x 7 x ) 6 s 6)2x ix ( ,s n f in ( 4 2 )) (5x 0) =s0 .i7x,6n 6x 0 4( 46 4, 3 …)
注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
n
例如 P(x)L n(x)p(x) (xxi)也是一个插值 i0
多项式，其中 p( x)可以是任意多项式。
拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 P n (x ) a 0 a 1x a n x n使得
n
Pn ( x )
li ( x )
y i
，则显然有Pn(xi)
=
yi
。
i0
每个与li节有点n 个有根关，x0而…与xi
li (x) Ci (x x0)...(x xi
f …无x关n )...(x xn
)
CiPLj no ali (ygxnroamnxgj i)eal
li (xi ) 1
y
A
y
B
y
C
1-
1-
1-
0.5-
0.5-
0.5-
01 -0.5-
2 34
✓
56 x 0 1
-0.5-
2 34
56 x 0 1
-0.5-
2 34
56 x
例：已知 si6 n1 2,si4 n1 2,si3 n2 3
分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50
并估计误差。
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi xj
n= 1
已称知为x拉0 氏, x基1 ;函y0数, y1/*，La求graP n1g(ex)B asa is0* /，a1x使得
P满1( 足x0 )条 件y0 l,i(Px1j)(=x1 )ij/*yK1 ronecker Delta */