(3) ∫ 1 dx ;
x
解
∫
1 x
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
x33
x +C
.
3
(5)
∫
1 x2
x
dx
;
解
∫
1 x2
x
dx
=
∫
x
−
5 2
4. 证明函数 1 e 2x , ex s hx和ex ch x 都是 e x 的原函数.
2
chx −shx
证明
ex chx −shx
=
ex
ex +e−x − ex
−e−x
=
ex e−x
= e2x
.
2
2
因为 (1 e2x)′ = e2x , 2
所以
1 2
e2x
是
ex chx −shx
的原函数.
因为
(e x s h x ) ′ = e x s h x + e x c h x = e x ( s h x + c h x )
dx
;
解
∫
ex
1 +e−x
dx
=∫
e x dx = e2x +1
∫
1 1+ e
2
x
de x
= arctane x
+C
.
8
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(12) ∫ xe−x2 dx ;
解
∫
Байду номын сангаас
xe −x2
dx =−
1 2
∫e−x2
d (− x 2
)=−
1 2
e−x2
+C.
(13) ∫ x⋅cos( x2 )dx ;
1 2
+C
.
x
(19) ∫3x e xdx ;
解
∫
3x
e
x
dx
=
∫
(3e)
x
dx
=
(3e) x ln(3e)
+
C
=
3x ex ln 3 +1
+C
.
(20)
∫
2⋅3x −5⋅2 x 3x
dx
;
解
∫
2⋅3x −5⋅2 x 3x
dx
=
∫[2
−
5(
2 3
)
x
]dx
=
2
x
−
5
(2 3 ln
)x 2
+C =2x−
5 (2)x ln 2−ln3 3
+C
.
3
(21) ∫sec x(sec x− tan x)dx ;
解 ∫secx(secx−tan x)dx = ∫(sec2 x−secxtan x)dx = tan x−secx+C .
(22)
∫
cos
2
x 2
dx
;
解
∫ cos 2
x 2
dx
=
∫
1+
cos 2
x
dx
;
解
∫
3x3 1− x 4
dx = −
3 4
∫
1 1− x
4
d (1− x 4
)=−
3 4
ln|1−
x4
|+C
.
(16) ∫cos2(ωt +ϕ)sin(ωt +ϕ)dt ;
x b
)dx =
1 a
∫sin axd(ax)−b∫e
x b
d( x)=− b
1 a
cos ax − be
x b
+C
.
(6) ∫ sin t dt ;
t
解 ∫ sin t dt =2∫sin td t =−2cos t +C .
t
(7) ∫ tan10 x⋅sec 2 xdx ;
解
∫ tan10
x⋅sec2
解
∫
(x
−
2) 2
dx =
∫(x
2
−4x
+
4)dx = ∫
x
2 dx
−
4∫
xdx
+
4∫
dx
=
1 3
x
3
−
2x
2
+
4x
+C
.
(11) ∫ (x2 + 1)2 dx ;
解
∫
(
x
2
+1)
2
dx
=
∫
(
x
4
+
2
x
2
+1)dx
=
∫
x
4
dx
+
2∫
x
2
dx
+
∫
dx
=
1 5
x
5
+
2 3
x
3
+
x
+
C
.
(12) ∫ ( x +1)( x3 −1)dx ;
解 设该曲线的方程为 y=f(x), 则由题意得
y′= f ′(x)= 1 , x
所以
y
=
∫
1 x
dx
=
ln|
x|+C
.
又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有=3−2=1
3=f(e 2)=ln|e 2|+C=2+C,
C=3−2=1. 于是所求曲线的方程为
y=ln|x|+1. 3. 一物体由静止开始运动, 经t秒后的速度是 3t2(m/s), 问 (1)在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完 360m 需要多少时间？
2
2
所以e x c h x 是
ex chx −shx
的原函数.
5
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习题 4−2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: dx = 1 d (4x + 7) : 4 (1) dx= d(ax); 解 dx= 1 d(ax). a (2) dx= d(7x−3); 解 dx= 1 d(7x−3). 7 (3) xdx= d(x2); 解xdx= 1 d(x2). 2 (4) xdx= d(5x2); 解xdx= 1 d(5x2). 10
dx
=
−
1 5 +1
x
−
5 2
+1
+
C
=
−
3 2
⋅
x
1
x
+C
.
2
(6) ∫ m x n dx ;
解
∫m
n
x n dx = ∫ x m dx =
1
n +1
xm +C=
m
n +1
n+m
m+n
xm
+C
.
m
(7) ∫5x3dx ;
解
∫
5x
3 dx
=5∫
x 3 dx
=
5 4
x
4
+C
.
(8) ∫(x 2 −3x+ 2)dx ;
x
dx
=
∫
cos 2 cos
x x
−sin −sin
2
x
xdx
=
∫
(cos
x
+
sin
x)dx
=
sin
x
−
cos
x
+C
.
(25)
∫
cos2x cos2 xsin
2
x
dx
;
解
∫
cos 2 x cos2 xsin
2
x
dx
=
∫
cos2 x−sin 2 x cos2 xsin 2 x
dx
=
∫
(1 sin 2
x
= ex(ex −e−x + ex +e−x ) = e2x ,
2
2
所以e
x
sh
x
是
ex chx −shx
的原函数.
因为
(e x c h x ) ′ = e x c h x + e x s h x = e x ( c h x + s h x )
= ex(ex +e−x + ex −e−x ) = e2x ,
2
−
2 )dx ; 1−x 2
解
∫
(3 1+ x
2
−
2 1−x 2
)dx
=
3∫
1 1+ x
2
dx − 2∫
1 dx=3arctan x −2arcsin x +C . 1− x 2
(18) ∫e x (1− e−x )dx ;
x
解
∫e
x
(1−
e−x
)dx= ∫(e x