正 七 边 形 近 似 画 法 欣 赏
高斯19岁时运用高超的三角函数技巧证明了正十七边形可以尺规作图（这 是当时悬而未决两千年的尺规作图难题 ），并给出了正n边形能否尺规作图 的判定法：如果n为2的k次方和任意费马素数（形如2^(2^n)+1的素数，目 前只有3、5、17、257和655375，共5个）的乘积，正n边形就能尺规作图 。 但是他本人并没有给出做法，是数学家Johannes Erchinger（名不见经 传）在1825年首次解决了这一问题。
正 十 七 边 形 画 法 欣 赏
高斯的二次同余论证明了正65537边形能够尺规作图，但人 心都是肉长的，谁都知道如果真的去解决这一难题该是多么 摧残身心。可德国的数学家Johann Gustav Hermes就是不 怕死 ，他用10年心血解出了正65537边形的尺规作 图法并于1894年发表，手稿装了一皮箱，目前保管在哥廷根 大学。如果要画出正65537边形及其外接圆，并使边和圆周 之间的最大距离为1mm的话，这个圆的半径要超过870公里 ，实际上在16k纸上画完图之后根本看不出那个多边形—— 画面中央的“小句号”。
A B O E
⌒ ＝ ＢＣ ⌒ ⌒ ＝ＣＤ ⌒ ＝ＥＡ ⌒ ＝ＤＥ ∵ ＡＢ
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
ＢＣＥ
⌒
⌒ ⌒ ＝ ＡＢ ＝ ＣＤＡ
·
D
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCD的外接圆.（圆外切正五边形证明参见书P48页）
三、课堂练习： 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。（× ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形.（× ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多
B C D E A F
边形是正六边形。
3、完成课后练习
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系 2、正多边形的对称性。
P52页 第4.5.6.7题
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？ 为什么？
注：各边相等与各角相等必须同时成立，否则不
一定是正多边形。
用量角器作正多边形，探索正多边形与圆 的内在联系.
如果我们以正多边形对应顶点的连线的交点 作为圆心,交点到顶点的连线为半径作一个圆.很明 显, 这个正多边形的各个顶点都在这个圆上. 如图, 正方形ABCD，连结AC、BD交于点O，以O为圆 心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D都在这个 圆上． A D
沪科版九年级数学（下册）24· 5
24.6 正多边形与圆 （第1课时）
滁州实验中学
孙璐璐 赵孝庆 许文 周万夫
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
归纳： 正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这 个正多边形叫做正n边形。
2
观察下列生活图片，你能说出这些图片中包含的正多 边形吗？

B
C
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆 分成相等的一些弧,依此连接弧的端点就可以作出 这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形 的外接圆. 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的的交点 为顶点的多边形是圆的外切正多边形。
A
B
。
E
C
D
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各等分点 得到五边形ABCDE.
C
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
正 三 角 形 画 法
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
正 四 边 形 画 法
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
D
正 五 边 形 画 法
A N
M
B
C
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
正 六 边 形 画 法
标准的尺规作图不能用刻度尺，在此限制下不能做出正七边形，但是如果尺 子有两个刻度，即二刻尺作图，又叫做纽西斯作图法（neusis construction），不但能作正七边形，还能三等分角，做出倍立方香炉。然 而在古典几何里，使用二刻尺犹如比武用枪，是三流的招数（二流招数是使 用圆锥曲线的作图法），所以使用不多。这里的是一种标准尺规作图的近似 解，误差小于0.00013%。