P B
A
T E O S
Q
C R D
⌒⌒
又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴五边形PQRST的是O外切正五边形。
弧相等—弦切角相等—全等三角形
—
边相等 角相等
—多边形是正多边形
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛 的应用性，所以会画正多边形
半径 3. OB叫正△ABC的________ ，它是正 △ABC的________圆的半径. 外接 边心距 4. OD叫作正△ABC的________ ，它是 A 正△ABC的________ 圆的半径。 内切
o
B D C
6. 正六边形ABCDEF外切于⊙O，⊙O 的半径为R，则该正六边形的周长和面积各是 解 : 如图, 设AB切 ⊙ O于M， 连结OA、 OB 多少？则OM AB于M , AM BM . OM ,
F
E O ·
A
D
B
C
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
正多边形的性质
• 提出问题： • 我们学习了正多边形的定义，并且 知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的 圆的内接正n边形和圆的外切正n边 形．反过来，是否每一个正多边形都有 一个外接圆和内切圆呢？
• 定理： • 任何正多边形都有一个 外接圆和一个内切圆， 这两个圆是同心圆．
正多边形及外接圆中的有关概念 中心: 一个正多边形的外接圆的圆心. 正多边形的半径: 外接圆的半径. 正多边形的中心角: 正多边形的每一条边 所对的圆心角.
E
中心角 半径R .边 . 心 距 r
D
F
中心O
C
过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作 ⊙O连结OA、OB、OC、OD
同理，点E在⊙O上． 所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．
• 因为正五边形ABCDE的各边是 ⊙O中相等的弦，所以弦心距相 等．因此，以点O为圆心，以弦 心距(OH)为半径的圆与正五边形 的各边都相切．可见正五边形 ABCDE还有一个 • 以O为圆心的 • 内切圆
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA =120°． ②用量角器或30°角的 三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
120 ° O C B
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
A O ·
90°
D
B O
A
F E
E O ·
60°
·
72°
A
D
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离.
中心角 360 n

E 中心角
D
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
F
R
.O .
a
C
G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
A
a R （ ） ， 2
A E
D
正多边形和圆关系定理1： （正多边形的判定定理）
把圆分成n（n≥3）等份：
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的
内接正多边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交
点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边
形.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB
在RtAOM中, 1 AOM AOB 30, 2 AM OM R ，tan30 , OM 1 AM OM tan30 3R 3 P6 6 AB 12AM 4 3R
A M R F O E D C B
1 1 S 6 6 AB OM 4 3R R 2 3R 2 2 2
A
D
O ·
只要作出已知⊙O的互相 垂直的直径即得圆内接正 方形，再过圆心作各边的 垂线与⊙O相交，或作各 中心角的角平分线与⊙O 相交，即得圆接正八边形， 照此方法依次可作正十六 边形、正三十二边形、正 六十四边形……
B
C
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十 二边形吗？
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形. 先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边 形………
2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
正多边形的性质
正五边形
正八边形
正三边形
轴对称图形， 什么叫中心？ 一个正n边形共有n条对称轴， 每条对称轴都通过n边形的中心.
正多边形的性质
正八边形
正六边形
边数是偶数的正多边形 是中心对称图形， 它的中心就是对称中心.
随堂练习
下列命题是真命题吗？如果不是，举出 一个反例。 （1）正多边形的各边相等。 （2）各边相等的多边形是正多边形。 （3）正多边形的各角相等。 （4）各角相等的多边形是正多边形。
5. 求证：正五边形的对角线相等. 证明：连结BD、CE，则 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
∠BCD=∠CDE CD=DE ∴△BCD≌△CDE ∴BD=CE 同理可证对角线相等. C B
（n 2） 180 1. 正n边形的一个内角的度数是____________; n
中心角是___________；正多边形的中心角与外角的 360
n 大小关系是________. 相等
2. O是正△ABC的中心，它是△ABC的 外接 内切 ________圆与________圆的圆心.
A
1
⌒
⌒
⌒
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
B
2 3 4
5
E
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， C ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形。 证毕！
D
弦相等（边相等）
弧相等—
圆周角相等（角相等）
—正多边形
证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA
1.我们已学过哪些正多边形?
2.这些正多边形的边与角有什么 特点?
日常生活中你还看 到哪些具有这两个 性质的多边形?
1、正多 边形与圆
回顾旧知
正多边形
各边相等，各角也相等的多边形.
正多边形的性质 各边都相等 各角都相等
60°
108°
135° 正n边形内角和： (n－2)180°
练一练
达标检测： 1、判断题 ×
①各边都相等的多边形是正多边形.
（ ） × ②一个圆有且只有一个内接正多边形 （ ） 2、证明题。
求证：顺次连结正六边形 B R T A Q P F H E
各边中点所得的多
边形是正六边形.
C
S
D
谢谢大家，再会!