第八章 曲线积分与曲面积分 8.1对弧长的曲线积分8.2对坐标的曲线积分07.1) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是 （ B ） (A )(,)Tf x y dx ⎰. (B)(,)Tf x y dy ⎰.(C)(,)Tf x y ds ⎰. (D)(,)(,)x y Tf x y dx f x y dy ''+⎰.04.1) 设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23.（利用极坐标将曲线用参数方程表示） 09.1)已知曲线2:(0L y x x =≤≤，则Lxds ⎰=13610.1)已知曲线L 的方程为1||,y x =-([1,1]),x ∈-起点为(1,0),-终点为(1,0),则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰0 （直接算或格林）01.1)计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 是平面2x y z ++=与柱面|x |+|y |=1的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。

解：记S 为平面2x y z ++=上L 所围部分的上侧，D 为S 在xOy 坐标面上的投影。

由斯托克斯公式得(24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰(423)Sx y z dS =++⎰⎰2(6)Dx y dxdy =--+⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰=-2408.1)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点(0,0)到点(,0)π的一段.（路径表达式直接代入）8.3格林公式02.1)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记22211()()1Lx I y f xy dx y f xy dy y y ⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣⎦⎰（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值.03.1) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1)dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2) .22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly【详解】 方法一： (1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx edy exy=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由于2sin sin ≥+-x xe e，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xex x xLy方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ， 故dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy e DDx y ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDxx ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x05.1)设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x >0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【详解】 （I ）Yl 3如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx y ϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ① 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=- 06.1)设在上半平面D=(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的t >0都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有()()2,,0yf x y dx xf x y dy -=⎰证：把2(,)(,)f tx ty tf x y t -=两边对求导得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=-令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-③ ④所给曲线积分等于0的充分必要条件为Q Px y ∂∂=∂∂今 (,)(,)x Q f x y xf x y x∂'=--∂(,)(,)y Pf x y yf x y y∂'=+∂ 要求Q Px y∂∂=∂∂成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q Px y∂∂∴=∂∂，于是结论成立。

8.4对面积的曲面积分07.1) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(解：由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯=10.1)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P 的轨迹C，并计算曲面积分2x y zI ∑+-=，其中∑是椭球面位于C 上方的部分.8.5对坐标的曲面积分06.1)设∑是锥面1)Z ≤≤的下侧，则23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑++-=⎰⎰ (补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1上侧)8.6高斯公式05.1) 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π.(用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可) 08.1)设曲面∑是z =2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰4π （高斯） 04.1) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.【详解】 取1∑为x o y 平面上被圆122=+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑+∑-++=1)1(322233 .)1(3221233dxdy zdzdx y dydz x ⎰⎰∑-++-由高斯公式知dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=-++)(6)1(322222331=rdz r z dr d r )(62011022⎰⎰⎰-+πθ=.2)]1()1(21[12232210ππ=-+-⎰dr r r r r而⎰⎰⎰⎰≤+∑=--=-++123322133)1(322y x dxdy dxdy z dzdx y dydz x π，故 .32πππ-=-=I07.1) 计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧。

【详解】 补充曲面：221:1,04y x z ∑+==，取下侧. 则 123I xzdydz zydzdx xydxdy ∑+∑=++⎰⎰123xzdydz zydzdx xydxdy ∑-++⎰⎰=(2)3Dz z dxdydz xydxdy Ω++⎰⎰⎰⎰⎰其中Ω为∑与1∑所为成的空间区域，D 为平面区域2214y x +≤.由于区域D 关于x 轴对称，因此30Dxydxdy =⎰⎰. 又(2)3z z dxdydz zdxdy ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=11332(1).zD zdz dxdy z z dz ππ=⋅-=⎰⎰⎰⎰其中z D 22:14y x z +≤-. 09.1) 计算曲面积分32222()xdydz ydzdx zdxdy I x y z ∑++=++⎰⎰其中∑是曲面222224x y z ++=的外侧。