高中数学必修五综合测试题-含答案绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I卷（选择题）一、单选题1．数列0,23,45,67⋯的一个通项公式是（）A．a n=n−1n+1（n∈N∗) B．a n=n−12n+1（n∈N∗)C．a n=2（n−1）2n−1（n∈N∗) D．a n=2n2n+1（n∈N∗)2．不等式x−12−x≥0的解集是（）A．[1,2]B．(−∞,1]∪[2,+∞) C．[1,2) D．(−∞,1]∪(2,+∞)3．若变量x,y满足{x+y≥0x−y+1≥00≤x≤1，则x−3y 的最小值是（）A．−5 B．−3 C．1 D．44．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( ) A ． 8 B ． －8 C ． ±8 D ． 以上都不对5．己知数列{a n }为正项等比数列，且a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4，则a 2+a 6=（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 46．数列11111,2,3,4,24816L 前n 项的和为（ ） A ． 2122n n n++ B ． 21122n n n+-++ C ．2122n n n+-+D ．21122n n n+--+7．若ΔABC 的三边长a,b,c 成公差为2的 等差数列，最大角的正弦值为√32，则这个三角形的面积为（ ）A ． 154 B ． 15√34 C ． 21√34 D ． 35√348．在△ABC 中，已知a =2,b =√2,A =450,则B 等于( )A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ． 60°或120°9．下列命题中正确的是( )A．a＞b⇒ac2＞bc2B．a＞b⇒a2＞b2 C．a＞b⇒a3＞b3 D．a2＞b2⇒a＞b 10．满足条件a=4,b=3√2,A=45∘，的的个数是 ( )A． 1个 B． 2个 C．无数个 D．不存在11．已知函数f(x)=ax2−c满足：−4≤f(1)≤−1,−1≤f(2)≤5.则f(3)应满足（）A．−7≤f(3)≤26 B．−4≤f(3)≤15C．−1≤f(3)≤20 D．−283≤f(3)≤35312．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1,a2,a5成等比数列，则a2为（）A． -2 B． -3 C． 2 D． 3 13．等差数列{a n}的前10项和S10=15，则a4+a7等于（）A． 3 B． 6 C． 9 D． 10 14．等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n，若S nT =2n3n+1，则a3b的值为（）A．35 B．47C．58D．1219第II卷（非选择题）二、填空题15．已知{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1,a3＝0,则公差d=16．在△ABC中，A=60∘，b=1，面积为√3，则边长c=_________.17．已知ΔABC中，c=√，a=1，acosB= bcosA，则ΔABC面积为_________.18．若数列{a n}的前n项和S n=23a n+13，则{a n}的通项公式____________19．直线x−4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为________________．20．函数y=x+4x−1(x>1)的最小值是_____________．21．已知x，y∈R+，且4x+y=1，则1x +1y的最小值是______．三、解答题22．解一元二次不等式（1）−x2−2x+3>0（2）x2−3x+5>023．△ABC的角A、B、C的对边分别是a= 5、b=6、c=7。

（1）求BC边上的中线AD的长；（2）求△ABC的面积。

24．在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且b2+c2=bc+a2.（1）求A的大小.（2）若a=√，求b+c的最大值.25．数列{a n}的前n项和S n＝33n－n2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2) 求证：{a n}是等差数列.26．已知公差不为零的等差数列{a n}中，S2＝16，且a1,a4,a5成等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n|}的前n项和T n.27．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a4=3，a2,a3,a5成等比数列.（1）求a n；（2）设b n=n⋅2a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n.28．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？29．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n+12＝S n ＋1＋S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =a 2n−1⋅2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第1页，总32页参考答案1．C 【解析】 【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式． 【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列， 故可得数列的通项公式a n =2(n−1)2n−1（n ∈Z *）．故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题． 2．C 【解析】【分析】根据分式不等式的意义可转化为整式不等式(x−1)(2−x)≥0且2−x≠0，即可求解.【详解】原不等式等价于(x−1)(2−x)≥0且2−x≠0，解得1≤x<2，所以原不等式的解集是[1,2).【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，属于中档题.3．A【解析】【分析】画出可行域，令目标函数z=x−3y，即y=13x−1 3z，做出直线y=13x，平移该直线当直线过可行域且在y轴上截距最大时，即过点A(1,2)时，z 有最小值.【详解】可行域为如图所示的四边形OBAC及其内部，令目标函数z=x−3y，即y=13x−13z，过A(1,2)点时，所在直线在y轴上的截距−13z取最大值，此时取得最小值，且.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想方法，属于中档题.4．A【解析】【分析】利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出．【详解】等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2﹣34x+64=0的两根，∴a2+a6=34＞，a2•a6=64=a42，又偶数项的符号相同，∴a4＞0．则a4=8．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．B【解析】∵数列{a n}为等比数列，且a1a3+ 2a3a5+a5a7=4∴a22+2a2a6+a62=4，即(a2+a6)2=4，又a n>0，∴a2+a6=2．选B．6．B【解析】()()()11111111112212311248222212n n n nn n n n S n ⎛⎫-⎪++⎛⎫⎝⎭=+++++++++=+=+- ⎪⎝⎭-L L ，故选B. 7．B 【解析】试题分析：根据题意设三角形的三边最大角为,,则由三角形两边之和大于第三边知即,由余弦定理得，即,计算得出:.三角形的三边分别为该三角形的面积为:所以选项是正确的.考点：等差数列，余弦定理，三角形面积. 【思路点晴】本题给出三角形中三条边成公差为的等差数列，利用等差中项巧设三边这样只引入了一个变量，根据三角形中大边对大角，则最大角为边所对的角，根据，得到，从而得到三边分别为8．A 【解析】 【分析】 由正弦定理a sinA=b sinB知sinB =12，所以得B =300或1500，根据三角形边角关系可得B =300。

【详解】 由正弦定理a sinA=b sinB得， 2sin π=√2sinB，所以sinB =12B =300或1500，又因为在三角形中，a >b ，所以有A >B ，故B =300，答案选A 。

【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础。

9．C【解析】试题分析：对于选项A,根据不等式的性质，只有c>0时，能成立，故错误选项B中，当a=0,b=-1,时，此时a>b，但是不满足平方后的a2>b2，成立，故错误。

选项D中，因为当a2>b2时，比如a=-2,b=0,的不满足a>b，故错误，排除法只有选C.考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。

点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。

只有同时乘以正数不等号方向不变。

10．B【解析】解：因为满足条件a=4,b=3√2,A=45∘，利用余弦定理可知得到关于c的一元二次方程，即∴c2+2−6c=0，可知有两个cosA=b2+c2−a22bc不等的正根，因此有两解，选B 11．C 【解析】 【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f （3）的最值即可． 【详解】：∵﹣4≤f （1）≤﹣1，﹣1≤f （2）≤5， ∴{−4≤a −c ≤−1−1≤4a −c ≤5 ， 作出可行域如图所示：令z=f （3）=9a ﹣c ，则c=9a ﹣z ，由可行域可知当直线c=9a ﹣z 经过点A 时，截距最大，z 取得最小值，当直线c=9a ﹣z 经过点B 时，截距最小，z 取得最大值．联立方程组{a −c =−14a −c =−1 可得A （0，1），∴z 的最小值为9×0﹣1=﹣1， 联立方程组{4a −c =5a −c =−4，得B （3，7），∴z 的最大值为9×3﹣7=20． ∴﹣1≤f （3）≤20． 故选：C ． 【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.12．D【解析】【分析】由等差数列知，a1=a2−d,a5=a2+3d，又三数成等比数列，所以a22=(a2−d)(a2+3d)，求解即可.【详解】因为a1=a2−d,a5=a2+3d，又a1,a2,a5成等比数列，所以a22=(a2−d)(a2+3d)，解得a2= 3，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式及等比中项，属于中档题.13．A【解析】【分析】由题意结合等差数列前n项和公式和等差数列的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：S10=a1+a102×10=5(a1+a10)= 15，则a1+a10=3，由等差数列的性质可得：a4+ a7=a1+a10=3.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．C【解析】【分析】根据等差数列的求和公式进行变形可得a3b3=S5T5，结合条件代入n=5后可得所求的值．【详解】由等差数列的求和公式可得a 3b 3=2a 32b 3=a 1+a 5b 1+b 5=52(a 1+a 5)52(b 1+b 5)=S 5T 5=2×53×5+1=58，故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和项的下标和的性质，解题时要注意等差数列的项与和之间的联系，关键是等差数列中项的下标和性质的灵活运用，考查变化和应用能力． 15．B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，求解即可． 【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由等差数列的通项公式以及已知条件得{a 1+6d −2(a 1+3d)＝−1a 1+2d ＝0 ，即{a 1＝1a 1+2d ＝0 ， 解得d=-12，故选：B ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用． 16．4 【解析】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 【详解】∵A =60∘,b =1,面积为√3=12bc sin A =12×1×c ×√32，∴解得：c =4， 【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上bc sin A已知角A，所以我们需抓取S=1217．√34【解析】【分析】由已知及正弦定理可得sin（A﹣B）=0，结合A，B的范围，可求﹣π＜A﹣B＜π，进而求得A ﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA，同角三角函数基本关系式可求sinA，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】∵acosB=bcosA，∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（A﹣B）=0，∵0＜A＜π，0＜B＜π，可得：﹣π＜A﹣B ＜π，∴A﹣B=0，可得：a=b=1，∴cosA=b 2+c2−a22bc=1+3−12×1×√3=√32，可得：sinA=12，∴S△ABC=12bcsinA=12×1×√3×12=√34．故答案为：√34．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18．a n=(−2)n−1【解析】【分析】把n=1的式子代入已知中得到数列的首项，再由n≥2时，a n=S n−S n−1，推得a na n−1=−2，得到数列{a n}表示首项为a1=1，公比为q=−2的等比数列，即可求解.【详解】由题意，当n=1时，a1=S1=23a1+13，解得a1=1，当n≥2时，a n=S n−S n−1=23a n+13−2 3a n−1−13=23a n−23a n−1，即a n=−2a n−1，所以a na n−1=−2，所以数列{a n}表示首项为a1=1，公比为q=−2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=(−2)n−1.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及数列a n 与S n的关系的应用，其中熟记数列的a n与S n的关系式，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．x−4y+9>0【解析】【分析】作出直线x−4y+9=0，判断O所在的平面区域，即可得到结论．【详解】点(0,0)在直线x−4y+9=0的下方，应使不等式成立，所以直线x−4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为x−4y+9>0．故答案为：x−4y+9>0【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，先判断原点对应的不等式是解决本题的关键，比较基础．20．5【解析】【分析】先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得y=x−1+4x−1+1≥2√(x−1)⋅4x−1+1=5.(当且仅当{x>1x−1=4x−1即x=2时取等)故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.本题解题的关键是变形y=x−1+4x−1+1.21．9【解析】【分析】直接将代数式4x+y与1x +1y相乘，利用基本不等式可求出1x +1y的最小值．由基本不等式可得1x +1y=(4x+y)(1x+1y)=4x y +yx+5≥2√4xy⋅yx+5=9.，当且仅当{4xy=yx4x+y=1⇒{x=16y=13，等号成立，因此1x+1y的最小值为9，故答案为：9．【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.22．（1）(-3,1)；（2）R.【解析】(1)利用因式分解即可(2)利用判别式即可得到答案【详解】（1）由−x2−2x+3>0，得x2+2x−3<0，解得−3<x<1。