[A 组 学业达标]
1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：z ＝－1－2i 对应点Z (－1，－2)，位于第三象限.
答案：C
2．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( )
A ．1或3
B ．1
C ．3
D ．2 解析：依题意可得
(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A.
答案：A
3．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－3,1)
B ．(－1,3)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－3) 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
m ＋3>0，m －1<0，
即－3<m <1.故实数m 的取值范围为(－3,1)． 答案：A
4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y
＝－x 的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数为( )
A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i 解析：因为复数－1＋2i 对应的点为A (－1,2)，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为
B (－2,1)，所以OB →对应的复数为－2＋i.
答案：B
5．如果复数z 满足条件z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( )
A ．－34＋i
B.34－i C ．－34－i D.34＋i
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋a 2＋
b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝34，b ＝1，
即z ＝34
＋i. 答案：D 6．在复平面内，复数z ＝sin 2＋cos 2i 对应的点位于________象限．
解析：由π2<2<π，知sin 2>0，cos 2<0
∴复数z 对应点(sin 2，cos 2)位于第四象限．
答案：第四
7．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.
解析：复数z 1＝2－3i 对应的点为(2，－3)，则z 2对应的点为(－2,3)．所以z 2＝－2＋3i.
答案：－2＋3i
8．已知在△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的
复数为________．
解析：因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝
(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的
复数为－1－5i.
答案：－1－5i
9．实数a 取什么值时，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点满足下列条件？
(1)位于第二象限；
(2)位于直线y ＝x 上．
解析：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．
(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1. 故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1.
故满足条件的实数a 的值为1.
10．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .
解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，
则|z |＝a 2＋b 2，
代入方程得，a ＋b i ＋
a 2＋
b 2＝2＋8i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－15，
b ＝8. ∴z ＝－15＋8i.
[B 组 能力提升]
1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2 解析：∵(1＋i)x ＝1＋y i ，
∴x ＋x i ＝1＋y i.
又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝1.
∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.
答案：B
2．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°，
且复数z 的模为2，则复数z 为( )
A ．1＋3i
B ．2
C ．(－1，3)
D ．－1＋3i
解析：∵|OZ →|＝|z |＝2，及OZ →与实轴正方向夹角为120°.
设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)
则x ＝|z |·cos 120°＝2cos 120°＝－1，y ＝|z |sin 120°＝ 3.
∴复数z ＝－1＋3i.
答案：D
3．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________.
解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，
由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，
即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得⎩⎨⎧ x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.
解得⎩⎨⎧
x ＝0，y ＝1.
∴z ＝i. 法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，
等式两边取模，得|z |＝(|z |－1)2＋12.
两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1.
把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i.
答案：i
4．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．
解析：|z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．
故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.
答案：22＋1
5．已知z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，当θ为何值时，z 1和z 2满足下列条件？
(1)z 1＝z 2；
(2)z 1，z 2对应点关于x 轴对称；
(3)|z 2|< 2.
解析：(1)z 1＝z 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧
cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝cos θ ⇒⎩⎨⎧ tan θ＝33，2sin θcos θ＝cos θ⇒θ＝2k π＋π6(k ∈Z)．
(2)z 1与z 2对应点关于x 轴对称
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ ⇒⎩⎨⎧ θ＝k π＋π
6(k ∈Z )，2sin θcos θ＝－cos θ
⇒θ＝2k π＋76π(k ∈Z)．
(3)|z 2|<2⇒ (3sin θ)2＋cos 2θ< 2
⇒3sin2θ＋cos2θ<2⇒sin2θ<1 2
⇒kπ－π
4<θ<kπ＋
π
4(k∈Z)．。