等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2、通项公式:()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠,首项:1a ;公比:q 推广:n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项:(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项,即:2A ab =或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式: (1)当1q =时,1n S na = (2)当1q ≠时,()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---(,,','A B A B 为常数) 5、等比数列的判定方法:(1)用定义:对任意的n ,都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数,为等比数列 (2)等比中项:21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 (3)通项公式:()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质:(2)对任何*,m n N ∈,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=。
(3)若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则n m s t a a a a ⋅=⋅。
特别的,当2m n k +=时,得2n m k a a a ⋅= 注:12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较:经典例题透析类型一:等比数列的通项公式例1.等比数列{}n a 中,1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组,解出1a 和q ,可得11a ;或注意到下标1937+=+,可以利用性质可求出3a 、7a ,再求11a . 解析:法一:设此数列公比为q ,则8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由(2)得:241(1)20a q q +=..........(3) ∴10a >.由(1)得:421()64a q = , ∴418a q = (4)(3)÷(4)得:42120582q q +==, ∴422520q q -+=,解得22q =或212q =当22q =时,12a =,1011164a a q =⋅=; 当212q =时,132a =,101111a a q =⋅=. 法二:∵193764a a a a ⋅=⋅=,又3720a a +=,∴3a 、7a 为方程220640x x -+=的两实数根,∴⎩⎨⎧==41673a a 或⎩⎨⎧==16473a a ∵23117a a a ⋅=, ∴271131a a a ==或1164a =.总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量;②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法(除式不为零). 举一反三:【变式1】{a n }为等比数列,a 1=3,a 9=768,求a 6。
【答案】±96法一:设公比为q ,则768=a 1q 8,q 8=256,∴q=±2,∴a 6=±96; 法二:a 52=a 1a 9⇒a 5=±48⇒q=±2,∴a 6=±96。
【变式2】{a n }为等比数列,a n >0,且a 1a 89=16,求a 44a 45a 46的值。
【答案】64;∵21894516a a a ==,又a n >0,∴a 45=4 ∴34445464564a a a a ==。
【变式3】已知等比数列{}n a ,若1237a a a ++=,1238a a a =,求n a 。
【答案】12n n a -=或32n n a -=;法一:∵2132a a a =,∴312328a a a a ==,∴22a = 从而13135,4a a a a +=⎧⎨=⎩解之得11a =,34a =或14a =,31a = 当11a =时,2q =;当14a =时,12q =。
故12n n a -=或32n n a -=。
法二:由等比数列的定义知21a a q =,231a a q =代入已知得2111211178a a q a q a a q a q ⎧++=⎪⎨⋅⋅=⎪⎩ 21331(1)7,8a q q a q ⎧++=⎪⇒⎨=⎪⎩211(1)7,(1)2(2)a q q a q ⎧++=⇒⎨=⎩将12a q=代入(1)得22520q q -+=, 解得2q =或12q =由(2)得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩ ,以下同方法一。
类型二:等比数列的前n 项和公式例2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q. 解析:若q=1,则有S 3=3a 1,S 6=6a 1,S 9=9a 1.因a 1≠0,得S 3+S 6≠2S 9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1.由3692S S S +=得,369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0,由q≠0,得2q 6-q 3-1=0,从而(2q 3+1)(q 3-1)=0,因q 3≠1,故312q =-,所以2q =-。
举一反三:【变式1】求等比数列111,,,39的前6项和。
【答案】364243; ∵11a =,13q =,6n =∴666111331364112324313S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-。
【变式2】已知:{a n }为等比数列,a 1a 2a 3=27,S 3=13,求S 5. 【答案】1211219或; ∵322273a a =⇒=,31(1)113313a q q q q -=⇒==-或,则a 1=1或a 1=9 ∴5555191131213121S 113913S ⎛⎫⨯ ⎪-⎝⎭==--或==-.【变式3】在等比数列{}n a 中,166n a a +=,21128n a a -⋅=,126n S =,求n 和q 。
【答案】12q =或2,6n =; ∵211n n a a a a -⋅=⋅,∴1128n a a =解方程组1112866n n a a a a =⎧⎨+=⎩,得1642n a a =⎧⎨=⎩ 或1264n a a =⎧⎨=⎩①将1642n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a q S q -=-,得12q =,由11n n a a q -=,解得6n =;②将1264n a a =⎧⎨=⎩代入11n n a a qS q -=-,得2q =,由11n n a a q -=,解得6n =。
∴12q =或2,6n =。
类型三:等比数列的性质例3. 等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++. 解析:∵{}n a 是等比数列,∴110293847569a a a a a a a a a a ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅= ∴1032313log log log a a a +++ 553123103563log ()log ()log 910a a a a a a =⋅⋅=⋅==举一反三:【变式1】正项等比数列{}n a 中,若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________. 【答案】100;∵lga 1+lga 2+lga 3+……+lga 100=lg(a 1·a 2·a 3·……·a 100) 而a 1·a 100=a 2·a 99=a 3·a 98=……=a 50·a 51∴原式=lg(a 1·a 100)50=50lg(a 1·a 100)=50×lg100=100。
【变式2】在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________。
【答案】216;法一:设这个等比数列为{}n a ,其公比为q ,∵183a =,445127823a a q q ===⋅,∴48116q =,294q =∴23362341111a a a a q a q a q a q ⋅⋅=⋅⋅=⋅33389621634⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。
法二:设这个等比数列为{}n a ,公比为q ,则183a =,5272a =,加入的三项分别为2a ,3a ,4a ,由题意1a ,3a ,5a 也成等比数列,∴238273632a =⨯=,故36a =,∴23234333216a a a a a a ⋅⋅=⋅==。
类型四:等比数列前n 项和公式的性质例4.在等比数列{}n a 中,已知48n S =,260n S =,求3n S 。
思路点拨:等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决办法,即等比数列中前k 项和,第2个k 项和,第3个k 项和,……,第n 个k 项和仍然成等比数列。
解析:法一:令b 1=S n =48, b 2=S 2n -S n =60-48=12,b 3=S 3n -S 2n 观察b 1=a 1+a 2+……+a n ,b 2=a n+1+a n+2+……+a 2n =q n (a 1+a 2+……+a n ), b 3=a 2n+1+a 2n+2+……+a 3n =q 2n (a 1+a 2+……+a n )易知b 1,b 2,b 3成等比数列,∴2223112348b b b ===,∴S 3n =b 3+S 2n =3+60=63. 法二:∵22n n S S ≠,∴1q ≠,由已知得121(1)481(1)601n na q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩①② ②÷①得514n q +=,即14n q = ③ ③代入①得1641a q=-, ∴3133(1)164(1)6314n n a q S q -==-=-。