等比数列经典例题例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.答：这个数列的第1项与第2项分别是 .8316与例2.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。

2,,aq aq a ：解：设原来的三个数是431=-+n n c c问：如何用a 1和q 表示第n 项a n1.叠乘法（累乘法）a 2/a 1=q a 3/a 2=q a 4/a 3=q … a n /a n-1=q这n-1个式子相乘得a n /a 1=q n-1 所以 a n =a 1q n-1 2.不完全归纳法 a 2=a 1q a 3=a 2q=a 1q 2 a 4=a 3q=a 1q 3 … a n =a 1q n-11． 在等比数列{a n }中，已知 a 2＝2，a 4a 6＝256，则 a 8 等于（128） 2． 等比数列{a n }中，a 5＝3，则 a 2·a 8 等于（9）3． 将 20,50,100 这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是__ 5/3__. 4． 已知等比数列a n /a 1 {a n }的公比 q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝（-3）5． 在等比数列{a n }中，若 a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25. 求 a 3＋a 5 的值．6． 在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和为 21，则 a 3＋a 4＋a 5＝( 84 )7． 在等比数列{a n }中，若 a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比 q 值的可能个数为( 4 )8． 已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前 n 项和，且a 2＝3,4S 2＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证数列{2an }是等比数列；(3)求使得 S n ＋2>2S n 的成立的 n 的集合．解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝34×(2a 1＋d )＝4a 1＋6d，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)依题意得，122nn a a -＝22n －122n －3＝4，∴数列{2n a }为首项为2，公比为4的等比数列，(3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2，∴S n ＋2>2S n ⇒(n ＋2)2>2n 2⇒(n －2)2<8，∴n ＝1,2,3,4，故n 的集合为：{1,2,3,4}．9. 在等比数列{a n }中，a 5、a 9 是方程 7x 2－18x ＋7＝0 的 两个根，试求 a 7.正解：∵a 5、a 9 是方程 7x 2－18x ＋7＝0 的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187a 5a 9＝1.又∵a 7 是a 5 和a 9 的等比中项，10. (2010年高考重庆卷)在等比数列{a n }中，a 2010＝8a 2007，则公比q 的值为( 2 )11.设{a n }是等比数列，a 1＝2，a 8＝256，则a 2＋a 3＝____12____. 12. 若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则S n ＝________. 答案：2n －113. (2011年高考全国卷Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2， 解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3， 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1 ＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2) ＝4a n ＋1－4a n ，∴a 27＝a 5a 9＝1，即a 7＝±1. 又由方程可得a 5＞0，∴a 7＝a 5q 2＞0，∴a 7＝1.于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2(n ∈N ＋)．14.（1） (2010年高考江西卷)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( A ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)nD ．－(－2)n（2）(2010年高考辽宁卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( B ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6(3)(2010年高考辽宁卷)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334 D.172【解析】 (1)记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2， 得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1， 当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意， 故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1. (2)⎩⎨⎧ 3S 3＝a 4－23S 2＝a 3－2①②，①－②得：3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4a 3＝4.(3)显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.15. 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列．(1)求使a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＋2>a n ＋2a n ＋3(n ∈N ＋)成立的q 的取值范围； (2)若b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N ＋)，求{b n }的通项公式．解：(1)∵数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，且a 1·a 2＝1·2＝2，∴a n ·a n ＋1＝2q n －1，由a n ·a n ＋1＋a n ＋1 ·a n ＋2>a n ＋2·a n ＋3(n ∈N ＋) 有2q n －1＋2q n >2q n ＋1(q >0)， ∴q 2－q －1<0，解得0<q <1＋52.(2)∵a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ，∴a n ＋2a n＝q ，∴a 2n ＋1＝qa 2n －1，a 2n ＋2＝qa 2n .∵b n ＝a 2n －1＋a 2n ，∴b 1＝a 1＋a 2＝3， 又b n ＋1b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 2n －1＋a 2n ＝qa 2n －1＋qa 2n a 2n －1＋a 2n ＝q ，∴{b n }是首项为b 1＝3，公比为q 的等比数列，∴b n ＝3q n －1.16. (2011年南阳调研)在等比数列{a n }中，a 1最小，且a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，前n 项和S n ＝126， (1)求公比q ； (2)求n .【解】 ∵{a n }是等比数列，a 1＋a n ＝66， ∴a 2·a n －1＝a 1a n ＝128，∴a 1 ，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根，解得⎩⎨⎧ a 1＝2a n ＝64或⎩⎨⎧a 1＝64a n＝2，又∵a 1最小，∴a 1＝2，a n ＝64，由⎩⎪⎨⎪⎧64＝2·q n －12(1－q n )1－q ＝126，得⎩⎨⎧q ＝2n ＝6.17.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2×3 n ＋k (k ∈R ，n ∈N ＋)． (1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＝4(5＋k )a n b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：0≤T n <316.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n－S n －1＝4·3n －1，由于{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1，因此有126＋k＝3，解得k ＝－2，这时a n ＝4·3n －1.(2)证明：由于a n ＝4(5＋k )a n b n ，所以4·3a n b n ＝4·3n －1，故a n b n ＝n －1，从而b n ＝n －14·3n －1.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n＝14·3＋24·32＋34·33＋…＋n －14·3n －1，① 3T n ＝14＋24·3＋34·32＋…＋n －14·3n －2，②②－①得2T n ＝14＋14·3＋14·32＋…＋14·3n －2－n －14·3n －1，所以T n ＝18＋18·3＋18·32＋…＋18·3n －2－n －18·3n －1＝316－2n ＋116·3n －1，令f (n )＝2n ＋116·3n －1，显然f (n )随着n 的增大而减小，故0<f (n )≤f (1)＝316，故0≤316－2n ＋116·3n －1<316，即0≤T n<316. 18.(2010年高考四川卷)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n . ………4分 (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1· q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. ……6分 若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. ………9分若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以，S n ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧n (n ＋1)2(q ＝1)，nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).......12分。