数学教学多媒体课件◆一类数列的变化特征◆数列极限的定义◆几个基本数列的极限◆问题讨论◆数列极限概念的小结通过图像观察数列的特性 数列的图像（点击按钮调用图像）通过图表定量观察(1)数列: 0.9,0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999,...........项号项|a n-1|10.9|0.9-1|=0.120.99|0.99-1|=0.0130.999|0.999-1|=0.00140.9999|0.9999-1|=0.000150.99999|0.99999-1|=0.00001 60.999999|0.999999-1|=0.000001 70.9999999|0.9999999-1|=0.0000001 ....................对ε=0.001与ε =0.000001,则n>3与n>6后满足|a-A|< εn项号项|a n -1|11/2|(1/2)-1|=0.521/4|(1/4)-1|=0.2531/8|(1/8)-1|=0.12541/16|(1/16)-1|=0.062551/32|(1/32)-1|=0.0312561/64|(1/64)-1|=0.01562571/128|(1/128)-1|=0.0078125....................通过图表定量观察(2)数列: 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...........对ε=0.1与ε =0.01,则n>3与n>6后满足|a n -A|< ε数列极限定义◆1.描述性定义:◆如果对数列{a n},存在常数A,当数列序号n无限增大时,数列的项an 无限接近常数A,称常数A是数列{a n}的极限.◆2.ε-N定义◆任意给定正数ε>0,如果总存在自然数N,当n>N时,不等式|an -A|< ε恒成立,则数列{an }的极限是A.记作:|a n-A|< εε>0 Aa nn=∞→lim对数列极限定义的说明◆若数列{a n}的极限是A,则a n可能小于A无限的趋近于A;也可能大于A无限的趋近于A;还可能时而大于A,时而小于A而无限的趋近于A.◆在极限的全过程中,ε必须具有绝对的任意性,但在该过程的某一瞬间, ε又是相对固定的.◆N的不唯一性.虽然N与ε有关,但N不是ε的单值函数,若自然数N满足极限定义的条件,则N+1,N+2,...也必满足该条件.例1:(1)举出两个以0为极限的数列;(2)举出两个以1为极限的数列;(3)举出两个以A为极限的数列.◆解:◆(1)a n=1/n2 b n=(1/2)n ,...........◆(2)a n=(n+1)/n b n=1+(1/3)n,.......◆(3)a n=A+1/n b n=(-1)n(1/n)+A,.......问题1◆根据极限定义,猜想下列数列的极限◆(1) ____◆(2) ____◆(3) ____◆(4) ____,.....1,......,61,51,41,31,21,1n ,.....1,......,61,51,41,31,21,1n -------,.....)1(,......,61,51,41,31,21,1n n ----,.....)1(1,......,61,51,41,......,0,31,0,21,1,0n n -+0000问题2判断下列命题的正确性:①数列{a}的极限是A,则A一定是该数列中的一项;n②任何一个无穷数列必存在极限;③无穷数列的极限是A,指的是:对任意的ε>0,总能在{a}中找到一项a N,使a N以后有无限项满足|a n-A|< ε.n④数列{(-1)n}的极限存在,且偶数项的极限为1,奇数项的极限为-1.几个基本数列的极限1.01lim =∞→nn 2.0lim ,1=<∞→nn q q 时3.cc c n =∞→lim ,为常数证明：任给ε>0,由01lim =∞→nn 的证明:εnn <=-101所以εn 1>故取N=]ε1[(注:]ε1[表示1/ε的整数部分）所以，当n 〉N 时，不等式ε01<-n恒成立，故数列{1/n}的极限：01lim =∞→nn证明：0lim ,1=<∞→nn q q 时的证明任给ε>0,则由|q|<1ε|||0|<==-nnnq q q lg|q|n <lgεnlg|q|<lgε||lg lg q εn >当|q|≠0,①①⎥⎦⎤⎢⎣⎡=q N lg εlg 若取则当n>N 时,不等式|q n -0|<ε恒成立;当|q|=0,显然|0-0|=0< ε恒成立;l i m ,1=<∴∞→nn q q 时证明:c c c n =∞→lim ,为常数的证明任给ε>0,由|c-c|=0< ε,取N=任意自然数,那么当n>N 时,,|c-c|=0< ε恒成立所以,数列{c}的极限是c.◆选择题:◆1.已知非常数的数列{a n }当n －>∞时极限为M,则在区间(M-ε,M+ε)外,这个数列的项数为: (A)无限项(B)有限项(C)零项(D)有限项与无项项都有可能◆2.记a 1+a 2+......+a n =S n ,则数列{a n }有极限是数列{S n }有极限的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件B B◆填空题◆1.数列{a n }中,已知a n =(n+2)/2n,则|a n -1/2|=_______,要使n>N 时,有|a n -1/2|<0.001,则N 的最小值是________◆2.数列的极限是:__3.数列a,a,a,......,a,......的极限是:________1/n10000a ,.....,)1(1,.......,21,1,1dn a da d a a -+++◆推测下列数列的极限,并用极限定义证明你的结论.◆1.数列◆2.|q|<1,a 1,q≠0,数列◆3.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 的极限是_______;⎭⎬⎫⎩⎨⎧--q q a n 1)1(1的极限是____;⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232的极限是_______;1-1q a -11◆证明:◆任给ε>0,由证明的极限为1ε111111<+=+-=-+n n n n ,1ε1->n 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN 则n>N 时,不等式ε11<-+n n恒成立,所以11lim =+∞→n n n ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n证明:证明的极限为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-q 1a (1-q )1n-q1a 1任给ε>0,由εqqq q q a q q a nnn<-=--=----1111)1(11|q|n <ε|1-q|lg|q|n <lg ε|1-q|nlg|q|<lg ε|1-q|||lg |1|lg q q εn ->(∵|q|<1,lg|q|<0)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=||lg |1|εlg q q N 取故当n>N 时,不等式ε11)1(11<----qa q q a n恒成立,所以qa q q a nn -=--∞→11)1(lim 11⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n nn 3232 证明证明的极限为-1εn nn n n n nn n n n n n n n n n <+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⨯=+++-=--+-1323223222323232)1(3232任给ε>0,由εεn-<⎪⎭⎫ ⎝⎛232)2lg(32lg εεn -<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛->32lg ε2εlg n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=32lg ε2εlg N 取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232证明的极限为-1ε)1(3232<--+-n n n n 恒成立,所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-n n n n 3232的极限是-1.则当n>N 时,不等式对《数列极限》我们要把握“序号无限增大，数列的项无限接近一个常数”的含义，正确理解它的定义；掌握应用数列极限定义证明数列极限的方法，记住三个基本数列的极限，能应用它们求比较简单的数列的极限。

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