第二章 数列极限（计划课时：1 2 时）P23—41 §1 数列极限的定义 （ 4时 ）一、数列：1.数列定义 —— 整标函数.数列给出方法: 通项, 递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二、数列极限: 以 na nn ) 1 (1-+=为例.定义 (a a n n =∞→lim 的 “N -ε”定义)三、用定义验证数列极限： 思路与方法. 例1 .01lim=∞→nn 证明格式：0>∀ε（不妨设 <<ε0□）（不妨设>n □）要使-a a n ε， 只须>n □.于是0>∀ε,=∃N □，当N n >时，有ε＜ □ - □.根据数列极限的“N -ε”定义知∞→n lim □ = □.例2 .1,0lim <=∞→q q n n例3 .32142332lim 22=+-+-∞→n n n n n 例4 .04lim 2=∞→n n n证 >++⋅--+⋅-+⋅+=+=n n n n n n n n n 33!3)2)(1(3!2)1(31)31(432Λ .3 ,3!3)2)(1(3≥⋅-->n n n n注意到对任何正整数k n k 2 ,>时有 ,2nk n >- 就有)2)(1(276)2)(1(27640422><--=--<<n n n n n n n n n n .11272427462nn n n <⋅=⋅⋅于是，对,0>∀ε 取 }. 1 , 4 max {⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN .ΛΛ例5 .1,1lim >=∞→a a n n 证法一 令 ,1n n a α=- 有 .0>n α 用Bernoulli 不等式，有),1(11)1(1-+=+≥+=n n nn a n n a αα 或 Λ .1101nan a a n<-≤-< 证法二 （用均值不等式）{n n n a a 个11110-⋅=-<ΛΛ .1111nan a n n a <-=--+≤- 例6 .1lim =∞→n n n证 2≥n 时，.22212211 102nn n n n n n n n n n n <-=--+≤-=-<-Ex [1]P34 1； 2.四、关于数列极限定义的几点注记:1.ε的正值性, 任意性与确定性, ε以小为贵.2. N 的存在性与非唯一性,对N 只要求存在,不在乎大小.3. 数列极限的等价定义:)0( , , , ,0 :1>≤-⇒≥∀∃>∀k k a a N n N n εεD. , , ,0 :22εε<-⇒>∀∃>∀a a N n N n D . , , ,0 :3εε<-⇒>∀∃>∀a a N n N n D:4D 对 ,0c <<∀ε. , , ε<-⇒>∀∃a a N n N n:5D 对任正整数.1, , ,ma a N n N m n <-⇒>∀∃ 4. a a n n =∞→lim 的几何意义.5. 数列极限的几何定义: 五、收敛的否定叙述:1. 定义 ( a a n n ≠∞→lim 的“N -ε”定义 ).2. 定义 ( 数列{}n a 发散的“N -ε”定义 ).3. a a n n ≠∞→lim 的“N -ε”几何定义4. 数列{}n a 发散的“N -ε”几何定义Th1 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性:例7验证 .01lim≠+∞→nn n例8 证明{}2n 与{}n )1(-都是发散数列.例9设,lim lim a y x n n n n ==∞→∞→作数列{}n z 如下:{}.,,,,,,,:2211ΛΛn n n y x y x y x z 证明a z n n =∞→lim六、无穷小数列: 定义.Th2 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ). Ex [1]P35 3，4，5，6，7，8.§2 收敛数列的性质 （ 4时 ）一、极限唯一性：（ 证 ） Th 1 (极限唯一性)二、收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件：（ 证 ） Th2 (收敛数列有界性)三、收敛数列保号性：Th 3 设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→ 若 ,b a > 则. , ,n n b a N n N >⇒>∀∍∃（ 证 ）推论1 设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→ 若n n b a N n N <>∀∃ , ,有时， ⇒.b a ≤（注意“ = ” ；并注意b b n ≡ 和 0=b 的情况 ）.推论2 设 ( 0lim >=∞→a a n n 或)0<. 则对a r <<∀0 (或 , ),0∍∃<<N r ar a N n n >⇒>∀ , (或).r a n <推论3 若 ,0lim ≠=∞→a a n n 则对. , , , 0r a N n N a r n >⇒>∀∃<<∀例1 设),2,1(0Λ=≥n a n .证明:若a a n n =∞→lim ,则a a n n =∞→lim .注: 用分子有理化的方法可证,但烦琐.可引入不等式:当b a <<0时,有a b a b -<-<0 . 一般化有2121x x x x -≤-,m m mx x x x 2121-≤-,这一结论的证明可作为习题予以证明.四、迫敛性(双逼原理): Th4 (双逼原理). (证) 例2 求下列极限:⑴ );12sin( ) 13 (lim 2+-∞→n n n⑵ ∑=∞→+ni n in 02;31lim例3 .lim n n n ∞→ ( .)122112→-+≤⋅=≤-nn n n n n n n n例4（1）求证：{}3,2max 332lim ==+∞→n n n n（2）).1( ,0k i a i ≤≤>求证:}.,,, m ax {lim 2121k n n k n n n a a a a a a ΛΛ=+++∞→ 五、绝对值收敛性:Th 5 . lim ,lim a a a a n n n n =⇒=∞→∞→ ( 注意反之不确 )..0 lim ,0lim =⇔=∞→∞→n n n n a a ( 证 )六、四则运算性质:Th 6 (四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外). ( 证 ) 系 设数列{n a }和{n b }收敛, 则}.lim , lim { min } , { min lim },lim , lim max{} , max{lim n n n n n n n n n n n n n n b a b a b a b a ∞→∞→∞→∞→∞→∞→==利用数列极限性质求极限: 两个基本极限：01lim=∞→αn n ,(0>α)). 1 ( ,0lim <=∞→q q nn 例5 (1).14123lim22+-++∞→n n n n n (2)1412lim2+-+∞→n n n n .(3)01110111lim b x b x b x b a x a x a x a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ΛΛ.其中.0,0,≠≠≤k m b a k m 例6 .1 .1lim ≠+∞→a a a n nn例7 ). 1 (lim n n n n -+∞→七、子列收敛性: 子列概念.Th 7 (数列收敛充要条件) {n a }收敛 ⇔ {n a }的任何子列收敛于同一极限.Th 8 (数列收敛充要条件) {n a }收敛 ⇔子列{12-n a }和{n a 2}收敛于同一极限.Th 9 (数列收敛充要条件){n a }收敛 ⇔子列{12-k a }、{k a 2}和{}3k a 都收敛. (简证)利用子列性质证明数列发散:例8证明数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sinπn 发散. Ex [1]P33—34 1—6§3 数列极限存在的条件（ 2时 ）一、指出数列极限的“N -ε”定义的缺陷——是非构造性的，即只能用来验证极限而不能用来求极限.在§2中根据极限的四则运算、夹逼原理利用简单已知数列的极限来求一些数列的极限，对于一些较为复杂数列通常考察是否有极限，若有极限再设法求其极限,因此有必要根据数列本身的特点建立数列极限存在的判别条件.二、数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理：回顾单调有界数列. Th 1 (单调有界定理). (证) 例1 设 ). 2 ( ,131211≥++++=ααααna n Λ 证明数列{n a }收敛. 例2 222 , ,22 ,221+++=+==ΛΛn a a a (n 重根号),· · ·证明数列{n a }单调有界, 并求极限.例 3 .21 .0 ,011⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=>>+n n n x a x x x a 求.lim n n x ∞→( 计算a 的逐次逼近法, 亦即迭代法)解: 由均值不等式, 有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n x a x x 21 1}{ .n n n x a x ax ⇒=⋅≥有下界;注意到对,n ∀有,a x n ≥ 有nn n n x a a x a x x .1) (121121221⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+↘···,.lim a x n n =∞→例4 证明nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 存在 ) 71828.2 (≈e数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11单调有界证法欣赏:Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann （1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（ Riemann 最先给出这一证法 ）设 .11nn n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=应用二项式展开，得+⋅+=n n x n 11++⋅--+⋅-Λ321!3)2)(1(1!2)1(n n n n n n n n nn n n 1!123)1(⋅⋅⋅-Λ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n n n n n n 112111!12111!3111!2111ΛΛ， !21111++=+n x Λ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121111!31111n n n + ;11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n Λ 注意到 ,11111⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n ,12121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n .11111 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛+--<⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n n n Λ 且1+n x 比n x 多一项)!1(1+n ,011111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n Λ, 1n n x x >⇒+ 即n x ↗. n n n x n )1(132121111!1!31!21110-++⋅+⋅++<+++++<<ΛΛ n x n n n .31111111312121111⇒<-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=Λ有界.综上, 数列{n x }单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度. 证法二 ( 利用Bernoulli 不等式 )注意到Bernoulli 不等式 n x nx x n ,1( ,1)1(->+≥+为正整数 ), 有=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++nn nn n n x x 1111111nn n n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n n n n n 12211122,)1(111112nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 由 ,1)1(12->+-n 利用Bernoulli 不等式,有.1133233)1(1111232321>++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥+n n n n n n n n n x x n n n x ⇒↗. 为证{n x }上方有界, 考虑数列 .111+⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n y 可类证n y ↘. 事实上,=+1n n y y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2111111n n n n 1111111111+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n n 12221221+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=n n n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+++++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++=+n n n n n n n n n n 2112121121212 (此处利用了Bernoulli 不等式 )n y nn n n n n ,1441442323⇒>+++++=↘.显然有 , .n y x n n ∀⇒< 有 .41=≤≤<y y x n n Λ 即数列{n y }有上界.评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三(利用均值不等式)在均值不等式)0( ,1121>≤∑=i ni i nn a a n a a a Λ中, 令 ,1 ,111121=-+====-n n a n a a a Λ 就有 ,11111111)1(1 111111n n n nn n nn x n n n n n n x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--, 1n n x x ≤⇒- 即 n x ↗.令 ,1 ,111121=--====-n n a n a a a Λ 可仿上证得 3≥n 时⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-nn 11↗,( 1=n 时无意义, 2=n 时诸i a =0, 不能用均值不等式. ) 当2≥n 时, 由.11111 ,11111112nn n n n -<+⇒<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+.11111 n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴ 由 nn ⎪⎭⎫⎝⎛-11↗ n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒111 ↘. 22111 ⎪⎭⎫⎝⎛-<⇒n x < 4.评注: 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22.证法四 (仍利用均值不等式) 44448444476Λ个n n n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111111111⋅<, .111121111 1111++++<⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+<n n n n n x x n n n n n n 即 n x ↗.有界性证法可参阅上述各证法.评注: 该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”.证法五 先证明:对 b a <≤∀0和正整数n ,有不等式 .)1(11n n n b n ab a b +<--++事实上， =-++++-=----++ab a ba a b b a b a b a b n n n n n n ))((1111Λn n n n a ba a b b ++++--11Λ< .)1(n b n +该不等式又可变形为[],)1(1+<-+n n a nb a n b ( n b a ,0<≤为正整数 )在此不等式中, 取 ,11 ,111nb n a +=++= 则有 ,0b a <≤ 就有 n n n x n n ,111111⇒⎪⎭⎫⎝⎛++<⎪⎭⎫⎝⎛++↗. 取,211 ,1n b a +== 又有 121211<⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn对n ∀成立,⇒<⎪⎭⎫⎝⎛+⇒ ,2211 n n .421122<⎪⎭⎫⎝⎛+=nn n x又由 .4 ,212<⇒<-n n n x x x评注: 该证法真叫绝, [1]采用这一证法.可参阅《 TheAmerican Mathematical Monthly 》1974. Vol 81. №9 P1011—1012.例6 .21lim nn n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→例7 .211lim 3nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→例8 .1232lim nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→二、数列收敛的充要条件 —— Cauchy 收敛准则：1．Cauchy 列： 2． Cauchy 收敛准则：Th 2 数列{}n a 收敛. , , , ,0 εε<-⇒>∀∃>∀⇔n m a a N n m N （或数列{}n a 收敛. ,p , , ,0 εε<-⇒∈∀>∀∃>∀⇔+n p n a a N n N N 或数列{}n a 收敛. , , ,0 εε<-⇒>>∀∃>∀⇔n m a a N n m N )Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy 列. (此处“就是”理解为“等价于”).(简证必要性,充分性的证明在第七章)例9 证明:任一无限十进小数 )10( .021<<=ααΛΛn b b b 的不足近似值所组成的数列 ,101010 , ,1010 ,102212211ΛΛΛn n b b b b b b ++++ 收敛.其中) 9,,2,1 (Λ=i b i 是9,,1,0Λ中的数.证：令 =n a ,101010 221n n b b b +++Λ有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤+++=--++++++++1122111011011109101010 p n p n p n n n n n n p n b b b a a ΛΛ 1109+=n ().1101)1.0(11011.01)1.0(1n n p n p<<-=-- …… 例10 设 .sin sin sin ,102n n n q q q q q q x q +++=<<Λ 试证明数列{}x收敛.nEx [1]P38—39 1，2，3，4，5，6，7，8希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。