第八章杆类构件的强度与刚度设计————材料力学教案第八章杆类构件的强度与刚度设计杆类构件包括杆、梁、轴和柱。

在常温、静载荷作用下，杆、梁、轴的设计主要涉及强度设计和刚度设计；柱的设计，除了满足强度要求外还需要满足稳定性要求。

本章主要涉及杆类构件在静荷载作用下的强度和刚度设计。

关于柱的稳定性设计将在以后的章节中详细介绍，而轴的疲劳强度设计，将在专题中或其它课程中讨论。

8-1 设计原则与设计过程1 强度设计杆类构件在外载荷作用下，由内力分析，建立杆件横截面内力沿杆长方向分布变化的规律，绘制内力图，从内力的变化中找到内力最大的截面，从而确定可能最先发生强度失效的那些截面，称为危险截面。

通过应力分析，建立横截面上应力分布规律，确定危险截面上哪些点最先可能发生强度失效，这些点称为危险点。

强度失效不仅与应力大小有关，而且与危险点的应力状态有关。

因此，根据材料性能和应力状态，首先判断可能的失效形式（屈服还是断裂）从而选择相应的设计准则；然后根据设计准则，由不同的工程要求进行下列几方面的计算（以拉伸杆件为例）：强度校核：当外力、杆件各部分尺寸及材料许用应力均为已知时，验证危险点的应力强度是否满足设计准则。

截面设计：当外力及材料许用应力为已知时根据设计准则设计杆件横截面尺寸。

确定许可载荷：当杆件各部分尺寸及材料许用应力已知时，确定构件或结构所能承受的最大载荷。

选择材料：当外力、杆件各部分尺寸已知时，根据经济安全的原则以及其它工程要求，选择合适的材料。

2 刚度设计刚度设计就是根据工程要求，对构件进行设计，以保证在确定的外部荷载作用下，构件的弹性位移（最大位移或者指定位置处的位移）不超过规定的数值。

于是对于拉压杆，刚度设计准则为u N u N （8-1）, u N 为轴向位移；u N 为许用轴向位移。

式中对于梁，刚度设计准则为w w （8-2 ）（8-3）式中，w和分别为梁的挠度和转角；［w］和［］分别为许用挠度和许用转角。

对于受扭圆轴，刚度设计准则为[ ] s（对韧性材料）n s8-5)式中， 和 分别为圆轴两指定截面的相对扭转角和单位长度相对扭转角； 和 均 l 为许用值。

需要指出的是， 对于拉压杆件， 强度设计是主要的， 只是在一些对刚度有特殊要求的场 合才要求刚度设计。

8-2 拉压杆件的强度设计工程中有一些简单结构是由拉压杆通过焊接、铆接、销钉连接以至胶粘连接而成 （ 图 8-1） 。

为保证这类结构在确定荷载作用下安全可靠地工作， 需对拉压杆及连接件 （或连接部位 ） 作强度设计。

拉压杆与连接件的强度设计差异较大，故将分别加以介绍。

拉压杆的特点是横截面上正应力均匀分布，而且各点均处于单向应力状态，故可直接 应用第 7 章中的失效判据式，在等式右边除以安全因数，并将等号变为不等号，得到相应 的设计准则，即其中,F NA[] 8-6)图 8-n b上述设计也可以从第七章的屈服准则和断裂准则演变而来。

例题8－1 结构尺寸及受力如图8－2所示。

设AB,CD 均为刚体，BC和EF为圆截面钢杆。

钢杆直径为d 25mm，二杆材料均为Q 235钢，其许用应力[ ] 160MP a。

若已知荷载F P 39kN ，试校核此结构的强度是否安全。

解：1.分析危险状态该结构的强度与杆BC 和EF 的强度有关，在强度校核之前，应先判断哪一根杆最危险。

现二杆直径及材料均相同，故受力大的杆最危险。

为确定危险杆件，需先作受力分析。

研究AB 、CD 的平衡(图8－2b)：M A 0 M D 0 得到F N1 3.75m F P 3m 0F N1 3.8m F N2 3.2msin 30 0 0由此解得39 103 3 3F N1 ( )N 31.2 103N 31.2kNN1 3.753FN2(31.2 10 3.8)N 74.1 103 N 74.1kN[] 对脆性材料) 8-8)可见杆 EF 为受力最大，故其为危险杆2. 计算应力 杆 EF 横截面上应力F N2 74.1 1034 6 2N2 ( 2 6)Pa 151 106 Pa 151MPa d 2/4252 10 63. 校核是否满足设计准则因为 =160Mpa ，而σ =151Mpa ，所以满足设计准则可见杆 EF 的强度是安全的，亦即整个结构的强度是安全的。

例题 8-2 上例中若杆 BC 和杆 EF 的直径均为未知，其他条件不变。

试设计二杆所需 的直径。

解 ： 二杆材料相同，受力不同，故所需直径不同。

设杆 d 2，则由设计准则有FN1 2d 12/4应用上题中受力分析的结果，得到例题 8-3 例题 8-1 中的杆 BC 、EF 直径均为 d=30mm ，[σ]=160Mpa ，其他条件不变。

试确定此时结构所能承受的许可荷载 [Fp] 。

解：根据例题 8-1中的分析，杆 EF 为危险杆，由平衡方程得到其受力FN 2应用设计准则FN2d 24BC 、 EF 的直径分别为 d 1 和[]FN 2d 22/ 4[](4 31.2 1036 )m3.14 160 106[]4 74.1 1033.14 160 106)m15.8 10 3m 24.3 10 3m 15.8mm 24.3mmFN1 3.8m F P 3 3.8m 1.9FP(3.2 0.5)m (3.75 3.20.5)m P[] d 1d2得到1.9F P 41.9Fd P2 4[ ]是。

有F P2 6 63.14 30 2 10 6 160 106 3( )N 59.52 103N 59.52kN亦即结构的许可荷载[F P]=59.52Kn§ 8-3 连接件的工程假定计算螺栓、销钉和铆钉等工程上常用的连接件以及被连接的构件在连接处的应力，都属于所谓"加力点附近局部应力" 。

这些局部区域，在一般杆件的应力分析与强度计算中是不予考虑的。

由于应力的局部性质，连接件横截面上或被连接构件在连接处的应力分布是很复杂的，很难作出精确的理论分析。

因此，在工程设计中大都采取假定计算方法，一是假定应力分布规律，由此计算应力；二是根据实物或模拟实验，由前面所述应力公式计算，得到连接件破坏时应力值；然后，再根据上述两方面假定得到的结果，建立设计准则，作为连接件设计的依据。

1 剪切假定计算当作为连接件的铆钉、销钉、键等零件承受一对大小相等、方向相反、作用线互相平行且相距很近的力作用时，其主要失效形式之一是沿剪切面发生剪切破坏，如图8-3 所示。

这时在剪切面上既有弯矩又有剪力，但弯矩极小，故主要是剪力引起的剪切破坏。

利用平衡方程不难求得剪切面上的剪力。

一个剪切面二个剪切面图8-图8-这时，剪切面上的切应力分布是比较复杂的，一般假定切应力在截面上均匀分布，于 是有8-9)式中， A 为剪切面面积； F Q 为作用在该面上的剪力。

相应设计准则为其中， [τ] 为连接件许用切应力，8-11 )b 是根据连接件实物或模拟剪切破坏实验得到破坏时的F Qb 值，再由式 (8-9)算得的。

剪切假定计算中的许用切应力 [ τ ]与拉伸许用应力有关，对于钢材：[τ ]=(0.75~0.80)[ σ] 需要注意，在计算中要正确确定有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力。

例如，图8-3 所示的铆钉只有一个剪切面；而图 8-4 所示的则为有两个剪切面的情形。

2 挤压假定计算 在承载的情形下，连接件与其所连接的构件相互接触并产生挤压，因而在二者接触面 的局部区域产生较大的接触应力，称为 挤压应力， 用符号 c 表示。

挤压应力是垂直于接触 面的正应力。

这种挤压应力过大时，亦将在二者接触的局部区域产生过量的塑性变形，从 而导致二者失效。

挤压接触面上的应力分布同样也是比较复杂的。

因此在工程计算中，也是采用简化方 法，即假定挤压应力在有效挤压面上均匀分布。

有效挤压面简称挤压面，它是指挤压面面 积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影，如图 8-5 所示。

若连接件直径为 d 连接板厚度 为δ， ,则有效挤压面面积为δ d 。

于是，挤压应力为图 8－ 5 连接件挤压假定计算示意图[] FQA[] 8-10)bnbFPcA8-12)cFPcd解：对于钢板，由于自铆钉孔边缘线至板端部的距离比较大，该处钢板纵向承受剪切的 面积较大，因而具有较高的抗剪切强度。

因此，本例中只需校核钢板的拉伸强度和挤压强 度，以及铆钉的挤压和剪切强度。

现分别计算如下。

1. 对于钢板拉伸强度：考虑到铆钉孔对钢板的削弱，有F P(b d)[23.5 103[(100 17) 10 310 103]Pa28.3 106Pa 28.3MPa [ ] 98MPa故钢板的拉伸强度是安全的。

挤压强度：在图中所示的受力情况下，钢板所受的总挤压力为 d 。

于是有Fp ；有效挤压面为 δF P d[ 23.5 103[3(100 17) 10 3 10 103]Pa 138 106Pa 138MPa [ C ] 196MPa故钢板的挤压强度也是安全的。

2. 对于销钉[ c ] 为挤压许用应力。

对于钢材 [σc ]=(1.7~2.0)[ σ]，其中 [σ]为拉伸许用应力。

例题 8-4 图 8-6 示的钢板铆接件中 ,已知钢板的拉伸许用应力 [ σ]=98Mpa ，挤压许用应力[σc ]=196Mpa ，钢板厚度δ =10mm ，宽度 b=100mm ，铆钉直径 d=17mm ，铆钉许用切 应力 [ ] =137Mpa ，挤压许用应力 [ σ c ]=314Mpa 。

若铆接件承受的荷载Fp=23.5KN 。

试校 核钢板与销钉的强度。

相应的强度设计准则为FPcd[ c ]8-13)式中，F Pc 为作用在连接件上的总压力；剪切强度：在图 8-6 所示情形下，例钉有两个剪切面，每个剪切面上的剪力 于是有51.8 106Pa 51.8MPa [ ] 137MPa 故铆钉的剪切强度是安全的。

挤压强度：铆钉的总挤压力与有效挤压面面积均与钢板相同，而且挤压许用应力较钢 板为高，因钢板的挤压强度已校核是安全的，故无需重复计算。

例题1. 。

求杆的直径。

2.C 。

求销钉的直径。

3.解 ：首 先确定 控制 杆、销 钉和 支承的 受力 ，如图M C 0, F x 0和 F y 0 ，求得F=40kN ，F CX =40kN ， F CY =65kN ， F C =76。

3kN 。

式中， F C 为 F Cx 与 F Cy的合力 1．确定控制杆的直径 根据拉压杆的强度设计准则FQ =Fp/2 ，FQAF P /2 2F P 2222( 2 23.5 103(23.14 172106)Pa8－ 7b 所示。

根据平 衡方 程图 8－ 7 例题 8－ 50.0214m 21.4mm3．确定支承 C 的厚度支承承受挤压，每个挤压面上作用的挤压力为F C /2 ，于是，有F C /2d由此解得：(76.3 103(2 21.4 103 300 1065.94 10 3m 5.94mm[]nb4F d A 2BdAB6 600 106)m16.74 10 3 m 16.74mm2．计算销钉直径销钉受力如图 8－7c 所示，它承受剪切，有两个剪切面。