4 价格p
5
6
6.2859
7
8
代数程的常用求解方法
1．图形放大法 2. 区间迭代法
3．点迭代法
返 回
1．图形放大法
方程 f(x)=0 1）建立坐标系xoy，画曲线 f(x)； 2）观察曲线 f(x)与 x轴相交的交点； 3）将交点逐一进行局部放大； 4）交点的横坐标值就是方程的根。
1．图形放大法
max R( p) max{ px C ( x)}
p 0
化简目标函数，得
R( p) ( p 1.5)(78 p 655 p 125)h 50 8h (78 p 655 p 125)
2 2 3 4 3 4
令 得
3 4
R '( p) 0
(78 p 2 655 p 125)h ( p 1.5)(156 p 655)h 6h (78 p 2 655 p 125) (156 p 655) 0
右边 0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599 0.607 序号 左边 0.607 0.612 0.615 0.616 右边 0.612 0.615 0.616 0.617
3. 点迭代法
图形表示点迭代
迭 代 过 程 如 图 所 示
1
y=x
0.8 0.6 0.4 0.2 0
3.点迭代法
模型求解 1.图形法
1000 500 0 200 -500 -1000 -1500 0 2 4 6 8 0 -200
作图：曲线-x轴
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 600 400
一个零点：放大
利 润 导 数 曲 线 R’(p)
1
1.5 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
2
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 50 4 2 0 0 -2 -4 -100 1.1 1.15 1.2 1.25 -6 1.17
经有三次因喷气机设计的创新而迎来了它的巨大飞跃，波音 巴黎航展上展示的“波音7E7”设想图
707是第一架横跨大西洋的喷气机；波音747是第一架巨型的喷
气式客机；波音777是第一架长途旅行双发动机的客机。为设 计一种全新的喷气客机——波音7E7，设计目标是成为世界飞
机市场上最有效率和最为经济的机型。
价格作为市场调节的杠杆，是非常重要的一个因素，对研 发的一种新型客机如何定价？
1.6725
1.9554 1.7730 1.8822
11
12 13
1.8391
1.8392 1.8392
1.8454
1.8355 1.8416
精确解：x=1.8393
1(x)的迭代是失败的（迭代不收敛 ）。
6.25
6.3
6.35
6.4
利 润 导 数 曲 线 R’(p)
4 2 0 -2 -4 6.28
6.285
6.29
6.286
6.2865
6.2859
模型求解
利 润 函 数 曲 线 R’(p) 2000
1500
1000
数值解为： p1=1.1764
500
0
p2=6.2860
-500
-1000
0
1
2
3
1.1764
5 x-exp(x) 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 5x-exp(x)
-0.5
-0.5
0
0.5
1 x
1.5
1.5
2
2.5
2.5
3
0
0.2 5
0.5
1
1.5 x
2
2.5
2.5
3
引例: 飞机如何定价
波音707客机
【问题背景】
波音747客机
波音777客机 在近90年的历史中，波音这个世界最大的飞机制造商已
2. 区间迭代法
区间迭代方法之一： 二分法
[x2, x1] [x3, x1]
5
0
f ( x2 )
-5
f ( x1 )
f ( x3 )
-10
-15
-20 -2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
区间迭代方法之一：
黄金分割法=0.618法
3. 点迭代法
Z
引例： 3xex = 0 1）该方程有多少个根？如何判 断？
Z
3. 点迭代法
点迭代举例-函数构造
例：用迭代方法求解方程 x3 x2 x1 0。 解： 第一步 构造迭代函数： x = (x )
x x x 1
3 2
1 ( x ) 2 ( x) 3 ( x)
x
3
x x 1
2
1 1 x 1 2 x x
3. 点迭代法
1 4
模型求解 需要求解如下方程：
(78 p 2 655 p 125)h ( p 1.5)(156 p 655)h 6h (78 p 655 p 125) (156 p 655) 0
2 3 4 1 4
其中，选取h=0.5 可以采用3种方法：
1.图形法 2.区间迭代法
4. 该公司的市场占有率h是一个常数；
5. 该公司的销售量：x = h×N(p)
引例
问题假设
6. 该公司的制造成本为：C(x) = 50 + 1.5x + 8x3/4 ； 7. 利润函数：R(p) = px – C(x) 8. 最佳定价策略：利润R(p)达最大。
建立模型
引例
根据假设，得到如下数学模型：
返 回
-1.5
-1
逐次缩 小区间，观 察一个根在 -1.55~-1.5之 间。
1．图形放大法
方程组求解举例 例2: 用图解法求下列代数方程的根
2 2 x y 1 0 3 0.75* x y 0.9 0
0.75 x 3-y+0.9 = 0 6
4
2
ezplot('x^2+y^2-1')
-50
1.175
1.1764
1.18
模型求解 1.图形法
200 0 -200 -400 -600 -50
另一个零点：放大
利 润 导 数 曲 线 R’(p) 50 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
0
6
6.5 利 润 导 数 曲 线 R’(p)
7
-100 6.2 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 6.2855
line([-6,6],[0,0]) 或 ezplot(‘f(x)’,[-6,6])
-6000 -8000 -6 -4 -2 0 2 4 6
区间缩小，图形放大。[-6, 6] -> [-2, 2]
1．图形放大法
放大
50 10 0 0 -10 -50 -2 10 0 -10 -20 -2 -1.5 0 2 -20 -2 1 0 -1 -2 -1.6 -1.5 -1.4
0
hold on
ezplot('0.75*x^3-y+0.9')
y
-2
-4
-6 -6 -4 -2 0 x 2 4 6
1．图形放大法
图形放大 ezplot('x^2+y^2-1‘，[-2，2])
Matlab 程序 hold on ezplot('0.75*x^3-y+0.9‘， [-2，2])
0.75 x 3-y+0.9 = 0 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2
引例
问题分析
飞机的定价主要考虑以下因素：
飞机的制造成本、公司的生产能力、飞机 的销售数量与价格、竞争对手的行为与市场占 有率等。
引例
问题假设
1. 设价格表示为 p； 2. 假设只考虑一种型号的飞机； 3. 价格决定总销售量：根据历史数据预测分析得： N(p) = -78p2 + 655p + 125 其中N表示全球销售量。
3. 点迭代法
计算结果 序号
1 2 3
2(x) 3(x)
1.4422 1.6537 1.7532 3.0000 1.4444 2.1716
序号
8 9 10
2(x) 3(x)
1.8175 1.8385 1.8389 1.8136 1.8554 1.8294
4
5 6 7
1.7995
1.8209 1.8308 1.8354
迭代举例-Matlab实现程序
第二/三步 迭代+初始值
设定初值 x0=1， xn+1 = (xn)，n =0，1，… 用 MATLAB 编程（died2.m) X(1)=1;y(1)=1;z(1)=1;(初始点） for k=1:20 x(k+1)=x(k)^3-x(k)^2-1; %1 (x) y(k+1)=(y(k)^2+y(k)+1)^(1/3); %2 (y) z(k+1)=1+1/z(k)+1/z(k)^2; %3 (z) end X，y，z
y
-1.5
-1
-0.5
0 x
0.5
1
1.5
2
1．图形放大法
图形放大-继续 图形放大
ezplot('x^2+y^2-1‘，[-1,-0.9,0.15,0.2]) hold on ezplot('0.75*x^3-y+0.9‘， [-1,-0.9,0.15,0.2])
0.75 x 3-y+0.9 = 0 0.2
返 回
引言
多项式方程: