高次代数方程求根
P
(x)=a0x n+a1x n+．．．+a n-1x+a n=0
n
上式的左边为多项式的方程，称为n次代数方程，或多项式方程．而当中n=1,2,．．．,a
是实系数或复系数，但a0不等于0．当n>1的时候，P n(x)则称
k
为高次代数方程，而它的次数就是n．以上的多项式中的零点就是对应代数方程的根．
人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解法的问题．如巴比伦泥板中的平方表和立方表，它们可被用作解某些特殊的二次和三次方程．
在中国古代，人们已相当系统地解决了高次方程求解的问题：《九章算术》以算法形式给出求二次方程和正系数三次方程根的具体计算程序．7世纪，王孝通也找出了求三次方程正根数值解法．11世纪，贾宪《黄帝九章算法细草》创：“开方作法本源图”，是以“立成释锁法”解三次或三次以上的高次方程式．同时，他亦提出了一种更简便的“增乘开方法”．
13世纪，由秦九韶《数书九章》完成了“正负开方术”，更提供了一个用算筹布列解任何的数字方程的可行可计算的算法，可以求出任意次代数方程的正根．
除中国外，阿拉伯人对高次代数方程亦有所研究，在9世纪，花拉子米是第一个给出二次方程的一般解法，而在1100年，奥玛‧海亚姆给出了些特殊的三次方程式解法．
1541年，塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法．1545年，卡尔达诺的名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里的四次方程的一般解法．
1736年，在牛顿的《流数法》一书中，给出了著名的高次代数方程的一种数值解法．1690年，J.拉福生亦提出了类似的方法，而它们的结合就成为现代常用的方法──牛顿法，亦称为切线法．这是一种广泛用于高次代数方程和方程组求解的迭代法，一直为数学界所采用，并不断创新，如修正牛顿法及拟牛顿法等．
1797年，高斯给出了“代数基本定理”，证实了高次代数方程根的存在性．1819年，霍纳给出了高次方程数值求根另一种方法──霍纳法，它的思想和计算程序与秦九韶的算法相近，而类似的方法在1804年鲁非尼也曾提出过．霍纳法有广泛的应用，而在现代改进形式称为劈因子法．
此外，伯努利法和劳思表格法等亦是现在常用的高次代数方程数值解法．
过时的计算器
我们手的十个指头是我们最早的计数工具．
中国人设计出一种分格的盒子，并用上他们的筹算数码．这盒子用来写出方程组．
计算时用算盘的有许多文化，包括中国人、希腊人、罗马人和日本人．
印加人用绳结语言作记账手段．
17世纪初，约翰·纳皮尔发明纳皮尔筹来帮助计算．
1620年左右，埃德蒙·冈特发明计算尺．
1642年，布莱斯·帕斯卡发明第一台加法机．1673年，戈特弗里德·威
廉·冯·莱布尼兹发明能兼作乘法和除法的机器．
19世纪初，查尔斯·巴贝奇关于差分机和分析机的设计和研究为现代计算机提供了基础．
灵感与好念头
千百年来，人们对灵感的理论解释众说纷纭，“有多少学者就有多少主张和定义”．波里亚没有纠缠于定义上的推敲，而是结合数学问题的解决过程或数学的发现过程对灵感作了合乎情理的描述．
什么叫灵感？波里亚说，在解题活动中我们要设法“预测到解，或解的某些特征，或某一条通向它的小路．如果这种预见突然闪现在我们面前，我们就把它称为有启发性的想法或灵感．”又说，“我们需要感觉到自己进展的步伐．有时，有一种不会错的感觉，我们自信地跟随它前进并且它常常引导我们到正确的方向．如果这种感觉很强烈并且是突然发生的，我们称之为灵感．”
波里亚还把灵感通俗地解释为“好念头”．他写道：
“向求解的突然进展称为‘好念头’‘妙主意’‘巧想法’‘灵机一动’．什么是好念头？是我们观点上的一次重大突变，我们看问题方式的一个骤然变动，在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感．”
“想出一个好念头是一种‘灵感活动’．”
“好念头的出现，每个人都体验过，但只能心领神会而难于言传．”
他多次提及“好念头”，把“好念头”作为“灵感”的同义词．
波里亚对希腊哲学家亚里士多德所作的定义感到兴趣．亚里士多德说：“灵感就是在微不足道的时间里，通过猜测而抓住事物本质的联系．”例如说：“如果你看见一个人以某种方式和一个富翁谈话，你可能立刻猜想此人正在设法借钱．”又如，观察到月亮发光的一边总是朝着太阳，你可能突然想到为什么会这样：“这是因为月亮是由太阳光照亮的”．波里亚认为，第一个例子并不坏，但太庸俗了，关于富翁和钱这类事情不需要多少灵感来加以推测，并且那个念头也并不怎么高明，但第二个例子却给人以深刻的印像，在亚里士多德的时代，“月亮是由太阳光照亮的”这一猜想正是“在微不足道的时间里”突然产生新的观念，“想像力有了一个突然的跳跃，产生了一个好念头，这是天才的一次闪烁．”。