重力加速度的研究一、单摆法实验内容1．学习使用秒表、米尺。

2．用单摆法测量重力加速度。

教学要求1.理解单摆法测量重力加速度的原理。

2.研究单摆振动的周期与摆长、摆角的关系。

3.学习在实验中减小不确定度的方法。

实验器材单摆装置（自由落体测定仪）秒表钢卷尺重力加速度是物理学中一个重要参量。

地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。

一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值相差约1/300。

研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。

利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探察。

伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的振幅无关，并用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。

这就是单摆的等时性原理。

应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长L，只需要量出摆长，并测定摆动的平均周期，就可以算出g值。

实验原理单摆是由一不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。

在摆长远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很小距离，摆角小于5°），然后释放，摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动，如图2-1所示。

图2-1 单摆原理图摆球所受的力f 是重力和绳子张力的合力，f 指向平衡位置。

当摆角很小时（θ<5°），圆弧可近似地看成直线，f 也可近似地看作沿着这一直线。

设摆长为L ，小球位移为x ，质量为m ，则 sin θ=L xf=psin θ=-mg L x =-m L gx （2-1）由f=ma ， 可知 a=-Lgx式中负号表示f 与位移x 方向相反。

单摆在摆角很小时的运动，可近似为简谐振动，比较谐振动公式： a =m f =-ω2x 可得ω=lg 于是得单摆运动周期为： T =2π/ω=2πgL（2-2） T 2=g24πL （2-3）或 g=4π22T L（2-4）一般作单摆实验时，采用某一个固定摆长L ，精密地多次测量周期T ，代入（2-4）式，即可求得当地的重力加速度g 。

由式（2-3）可知，T 2和L 之间具有线性关系，g24π为其斜率，如就各种摆长测出各对应周期，则可从T 2—L 图线的斜率求g 值。

上述单摆测量g 的方法依据的公式是(2-2)式,这个公式的成立是有条件的，否则将使测量产生如下系统误差:1. 单摆的摆动周期与摆角的关系，可通过测量θ<5°时两次不同摆角θ1、θ2的周期值进行比较。

在本实验的测量精度范围内，验证出单摆的T 与θ无关。

实际上，单摆的T 随θ增加而增加，根据振动理论，周期不仅与摆长L 有关，而且与摆动的角振幅有关，其公式为：T=T 0[1+(21)2sin 22θ+(4231⨯⨯)2sin 22θ+……]式中T 0为θ接近于0o 时的周期，即T 0=2πgL2．悬线质量m 0应远小于摆球的质量m ，摆球的半径r 应远小于摆长L ，实际上任何一个单摆都不是理想的，由理论可以证明，此时考虑上述因素的影响，其摆动周期为：210220221212135212⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=L r m m L r L r m m L r g L T π 3．如果考虑空气的浮力，则周期应为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=摆球空气ρρ210T T 式中T 0是同一单摆在真空中的摆动周期，ρ空气是空气的密度，ρ摆球 是摆球的密度，由上式可知单摆周期并非与摆球材料无关，当摆球密度很小时影响较大。

4．忽略了空气的粘滞阻力及其他因素引起的摩擦力，实际上单摆摆动时，由于存在这些摩擦阻力，使单摆不是作简谐振动而是作阻尼振动，使周期增大。

上述四种因素带来的误差都是系统误差，均来自理论公式所要求的条件在实验中未能很好地满足，因此属于理论方法误差。

此外，使用的仪器如停表、米尺也会带来仪器误差。

操作步骤1．仪器调整：本实验是在自由落体测定仪上进行，故须要把自由落体测定仪的支柱调成铅直。

调整方法是：安装好摆锤后，调节底座上的水平调节螺丝，使摆线与立柱平行。

2．测量摆长L测量摆线支点与摆球质心之间的距离L 。

由于摆球质心位置难找，可用米尺测悬点到摆球最低点的距离L 1，（测三次），用千分尺测球的直径d ，（测三次），则摆长：L=L 1-d/23．测量摆动周期T使摆球摆动幅度在允许范围内，测量摆球往返摆动50次所需时间t 50，重复测量3次，求出T =50350⨯∑t 。

测量时，选择摆球通过最低点时开始计时，最后计算时单位统一为秒。

4. 将所测数据列于下表中，并计算出摆长、周期及重力加速对g =4π2212/T d L -根据不确定度的相对式有：2222221)ln ()ln ()ln (T d n g Tg d g l g g σσσσ∂∂+∂∂+∂∂=其中：1ln l g ∂∂=Ld L 12/11=- L d L d g 212/21ln 1-=--=∂∂ TT g 2ln -=∂∂ 222)2()2()(TLLg T dLg σσσσ++= 注意事项：1．摆长的测定中，摆长约为1米，钢卷尺与悬线尽量平行，尽量接近，眼睛与摆球最低点平行，视线与尺垂直，以避免误差。

2．测定周期T (50）时，要从摆球摆至最低点时开始计时，并从最低点停止计时。

这样可以把反应延迟时间前后抵消，并减少人为的判断位置产生的误差。

3．钢卷尺使用时要小心收放4．秒表轻拿轻放，切勿摔碰。

5．实验完毕，松开秒表发条。

问题讨论1．从误差分析角度说明为什么不直接测量单摆往返一次的时间。

2．摆球从平衡位置移开几分之一摆长时，θ≈5度。

3．单摆摆动时受到空气阻力作用，摆幅越来越小，它的周期有什么变化？如用木球代替铁球有何不同。

二、光电控制计时法实验目的1．学习使用数字毫秒计。

2．掌握用自由落体法测定重力加速度。

3．深刻理解匀加速直线运动的规律实验仪器自由落体测定仪、钢卷尺，数字毫秒计实验原理在重力作用下，物体的下落运动是匀加速直线运动。

这种运动1gt2可以表示为：s=v0t+2式中s是在时间t秒内物体下落的距离，g是重力加速度。

如果物体下落的初速度为零，即v0=0，则1gt2（2-5）s=2可见，如果能测得物体在最初t秒内通过的距离s，就可以算出重力加速度值g。

实际中由于v0=0这一条件不已达到，往往造成小球通过第一光电门时有一初速度v0，测得的时间值比小球实际下落时间短，使测得结果g值偏大。

同时，测量s也有一定困难，所以我们可以采取测量两次下落的高度差来消除误差。

S 1=21gt 12 S 2=21gt 22两式相减，有 g =()2122122t t s s -- 即 g =21222t t s-∆ （2-6）上述测定重力加速度值的实验，还可以用稍微不同的方式进行。

如图2-2所示，让物体从O 点开始自由下落，设它到达点A 的速度为v 1。

从点A 开始，经过时间t 1后，物体到达B 点。

令A 、B 间的距离为s 1，则s 1=v 1t 1+21gt 12 （2-7）图2-2 自由落体示意图若保持前面所述的条件不变，则从点A 起，经过时间T 2后，物体到达点B ′。

令A 、B ′间的距离为s 2 ,则s 2=v 2t 2+21gt 22 （2-8） 将式(2-8)×t 1-(2-7)×t 2 ，得s 2t 1-s 1t 2=2g (t 22t 1-t 12t 2) 于是得到g =1211222t t t s t s -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2-9） 实验内容（一）按式（2-6）测定重力加速度1．将重锤悬挂在铁芯上，调节底座螺旋，使支柱处于铅直状态后，取下重锤。

2．捏紧气囊，使它吸住小球。

将第一个光电门固定在小球恰好不挡光的地方，调整第二光电门与第一光电门的距离，然后测出这个距离。

3．使小球自由下落，记录数字毫秒计上显示时间t ，共测６次。

4．改变第２光电门位置，重复上述步骤。

5．按式（2-6）计算重力加速度的平均值。

6．计算不确定度。

由 g =212212)(2t t s s -- 2222212222212121)ln ()ln ()ln ()ln (t t s s g t g t g s g s g g σσσσσ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 其中： 1ln s g ∂∂=121s s --2ln s g ∂∂=121s s - 1ln t g∂∂=212222t t t -- 2ln t g∂∂=212212t t t -(二)按式（2-9）测定重力加速度 1. 调节好落体测定仪。

2．将第一光电门固定在支柱上部某一位置，第２光电门固定在支柱中间位置。

测出这个距离S 1。

3．小球自由下落，记录时间 t ,共测6次。

4．改变第２光电门的位置，重复上述步骤。

5．按式（2-9）计算重力加速度。

6．计算不确定度。

2222212222212121)ln ()ln ()ln ()ln (t t s s g t g t g s g s g g σσσσσ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 其中：1ln s g∂∂=21122t s t s t -- 2ln s g∂∂=21121t s t s t -1ln t g∂∂=2211222122211222t t t t t t t t s t s s ----2ln t g∂∂=2211222121211212t t t t t t t t s t s s ----- 注意事项1．调节仪器铅直放置，上下两光电门中心在同一条铅垂线上，使小球下落时的中心通过两个光电门的中心。

2．对每一时间值要进行多次测量。

3．实验中支柱不应晃动，操作中不要碰撞实验装置。

4．小球要自由下落，不应人为的挤压气囊。