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2019届高三第二次联考
数学(理科)试题
命题学校：孝感高中 命题人：王亚 武娟 蒋志方 彭西骏
审题学校：荆州中学 审题人：冯钢 陈静
监 制：全品大联考·武汉全品教育科技有限公司
考试时间：2019年3月27日星期三下午3:00~5:00
第I 卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的)
1.已知复数i
1i 2z +=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合2{2+--==x x y x P ,}1ln {＜x x Q =,则=Q P I （ ）
A.(0,2]
B.[-2,e)
C.(0,1]
D.(1,e)
3.
AQI 指数 0~50 51~100 101~150
151~200 201~300 ＞300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
下图是某市10月1日~20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）
A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
4.若等差数列{a n }的公差为-2,a 5是a 2与a 6的等比中项,则该数列的前n 项和Sn 取得最大值时,n 的值等于（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
5.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有（ ）
A.36种
B.42种
C.48种
D.60种
6.在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,且=,若u +=λ,则
=u λ（ ） A.-3 B.31- C.3 D.3
1 7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾 股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πα=
，现在向该
正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）
A.23-1
B.23
C.43-4
D.4
3 8.函数])0,2[)(cos (sin cos 2)(π
-∈+=x x x x x f 的最大值为（ ） A.2-1 B.1 C.2 D.21+
9.已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于B A ,两点(点A 在第一象限),若直线l 的倾斜角为32π,则=BF
AF （ ） A.31 B.52 C.21 D.3
2 10.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A.22
B.10
C.32
D.13
11.已知双曲线)0,(122
22＞b a b
y a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于 x 轴的直线l 交双曲线于N M ,2点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为（ ）
A.2
B.3
C.2
D.5
12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧--≥+=0
),1ln(20,121)(2＜x x x x x f ,若函数kx x f x g -=)()(有且只有2个零点,则实数k 的取值范
围为（ ）
A.(0,2)
B.(0,12)
C.(2,+∞)
D.(12
,2)
第II 卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)
13. 若y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≥≤322y x x y x ,则y x 2+的最小值为_____.
14. 已知函数13)1()(2
3+--+=ax x a x x f ,若)(x f 在1=x 处取得极值,则曲线)(x f y =在点(0,f (0))处的切线方程为____.
15. 已知数列{a n }满足a n =2a n-1+2n -1(n ∈N*,n ≥2),若a 4=65,则a 1=____. 16. 设),0(4)4(ln )(),(2
22
2
R b a b b a b a b a ∈+-+-=＞ϕ,当b a ,变化时),(b a ϕ的最小值为_____. 三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)
17．(12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，且向量m =(2a-c ,b )与向量n =(cos C ,cos B )共线。
（1）求B ；
（2）若73=b ,3=a ,且DC AD 2=,求BD 的长度.
18．(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD//B C,∠ADC =90°,平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A=PD =2，BC =1，AD =2，CD = 3.
（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ；
（Ⅱ）若M 是棱PC 上的一点,且满足3=,求二面角M-BQ-C 的大小.
19. （12分）已知椭圆)0(12222＞＞：b a b y a x C =+的离心率为2
1,左、右焦点分别为21,F F ,椭圆C 上短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于B A ,两点(点A 在第二象限),N M ,是椭圆上位于直线l 两侧的动点,若NAB MAB ∠=∠,求证：直线MN 的斜率为定值.
20. (12分)红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值。
平均温度x /℃
21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y /个 7 11 21 24 66 115 325
27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 表中∑==7
7
1,ln i i z z y z （1）根据散点图判断,bx a y +=与dx
ce y =(其中e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y 关于x 的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
（2）根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为)10(＜＜p p .
（i ）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值，并求出相应的概率0p .
（ii ）当)(p f 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：对于一组数据),(贩?
),,(),,(772211z x z x z x ，其回归直线bx a z +=想斜率和截距的最小二乘法估计分别为：x b z a x x z z x x b i i
i i i
-=---=∑∑==ˆ,ˆ
)())((7
1271
&&.
21. （12分）已知函数x a x x
x f ln 21)(+-=
. （1）讨论)(x f 的单调性；
（2）设2ln )(cx bx x x g --=，若函数)(x f 的两个极值点21,x x (21x x ＜)恰为函数)(x g 的两个零点,且)2()(2121x x g x x y +'-=的范围是),3
22[ln +∞-,求实数a 的取值范围。
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22. 【选修4——4：坐标系与参数方程】(10分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x l 23121:(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)6-
(cos 4πθρ=.(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)设点M 的极坐标为)2,1(π
，直线l 与曲线C 的交点B A ,，求MB MA +的值。
23. 【选修4——5：不等式选讲】(10分)已知11)(+++=ax x x f 。
(1)当1=a 时，求不等式4)(≤x f 的解集；
(2)若)1,0(∈x 时，不等式2)(+x x f ＜恒成立，求实数a 的取值范围。