湖北省2019届高三八校联考第二次理科数学试卷鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学 襄樊四中 襄樊五中 孝感高中命题人：襄樊五中 刘 军 何宇飞 审题人：襄樊四中尹春明考试时间：2019.3.27下午15：00～17：00一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. ()U x M N ∈I ð成立的充要条件是（ ）()U A x M ∈ð ()U B x N ∈ð ()U UC x M x N ∈∈且痧 ()U UD x M x N ∈∈或痧2. 设复数11z i =+，2z x i =-（x R ∈），若12z z ⋅为实数，则x 等于（ ） ()2A - ()1B - ()1C ()2D3. 已知a r 、b r 是不共线的向量，AB a b λ=+u u u r r r ，AC a b μ=+u u ur r r （λ、R μ∈），则A 、B 、C 三点共线的充要条件是（ ）()1A λμ+= ()1B λμ-= ()1C λμ=- ()1D λμ=4. 设映射2:2f x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）()[)1,A +∞ ()()1,B +∞ ()(),1C -∞ ()(],1D -∞ 5. 等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =，20072005220072005S S -=，则2008S 的值为（ ） ()2006A - ()2006B ()2008C - ()2008D 6. 已知函数()()212xx f x e e -=+（1x <）（其中e 是自然对数的底数）的反函数为()1f x -，则有（ ）()111322A f f --⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()111322B f f --⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()11322C f f --⎛⎫<⎪⎝⎭ ()()11322D f f --⎛⎫> ⎪⎝⎭7. 要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）()42105615C C A C ()33105615C C B C ()615615C C A ()42105615A A D C 8. 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中点A 与B 、C 两点间的球面距离均为2π，B 、C 两点间的球面距离均为3π，则球心到平面ABC 的距离为（ ） (A (B (C (D 9. 已知函数()()f x sin x ωϕ=+（0ω>，x R ∈）对定义域内的任意x ，都满足条件()f x =()()12f x f x +-+，若()9A sin x ωϕω=++，()9B sin x ωϕω=+-，则有（ ）()A A B > ()B A B = ()C A B ≥ ()D A B <10. 已知()()()321111132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）()3A a b -<- ()3B a b --≤ ()3C a b ->- ()3D a b --≥二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 设实数x 、y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，则22x y u xy +=的取值范围是__________.12. 设n a是(3n的展开式中x 项的系数（2n =、3、4、…），则2323333n n n lim a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L_____________.13. 已知函数()()f x sinx cos x t =++为偶函数，且t 满足不等式23400t t --<，则t 的值为_____________.14. 在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为_____________.15. 设a 、b 、c 依次是ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边，若1004tanA tanBtanC tanA tanB⋅=+，且222a b mc +=，则m =_____________.11. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 12. 18； 13．32π-或2π或52π； 14； 15．2009.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（本小题满分12分）已知向量()(),2a sin x ωϕ=+r ，()()1,b cos x ωϕ=+r（0ω>，04πϕ<<）.函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r，()y f x =的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）当11x -≤≤时，求函数()f x 的单调区间。

【解】（Ⅰ）()()()()()22222241f x a b a b a b a b sin x cos x ωϕωϕ=+⋅-=-=-=++--+r r r r r r r r()223cos x ωϕ=-++…………3′由题意得周期242T πω==，故4πω=.…………4′ 又图象过点71,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴73222cos πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即122sin ϕ=，而04πϕ<<，∴26πϕ=，∴()326f x cos x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………6′（Ⅱ）当11x -≤≤时，23263x ππππ-+≤≤∴当0326x πππ-+≤≤时，即11,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()f x 是减函数当20263x πππ+≤≤时，即1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 是增函数∴函数()f x 的单调减区间是11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调增区间是1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………12′17．（本小题满分12分）在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对．的概率是34，甲、丙两人都回答错．．．．的概率是112，乙、丙两人都回答．．．对．的概率是14. （Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；（Ⅱ）用ξ表示回答该题对的人数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.【解】（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ，则()34P A =，且有()()()()11214P A P C P B P C ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，即()()()()1111214P A P C P B P C ⎧⎡-⎤⋅⎡-⎤=⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩∴()38P B =，()23P C =.…………6′（Ⅱ）由（Ⅰ）()()114P A P A =-=，()()113P B P B =-=.ξ的可能取值为：0、1、2、3.则()()1155043896P P A B C ξ==⋅⋅=⋅⋅=；()()()()3511323527148348348324P P A B C P A B C P A B C ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； ()()()()15232P P A B C P A B C P A B C ξ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； ()()3316P P A B C ξ==⋅⋅=.…………9′∴ξ的分布列为ξ 0 1 23 P596 724 1532 316 ξ的数学期望01239624321624E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=.…………12′18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -各棱长都为a ，P 为棱1A B 上的动点。

（Ⅰ）试确定1:A P PB 的值，使得PC AB ⊥；（Ⅱ）若1:2:3A P PB =，求二面角P AC B --的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点1C 到面PAC 的距离。

【法一】（Ⅰ）当PC AB ⊥时，作P 在AB 上的射影D . 连结CD .则AB ⊥平面PCD ，∴AB CD ⊥，∴D 是AB 的中点，又1//PD AA ，∴P 也是1A B 的中点，即1:1A P PB =. 反之当1:1A P PB =时，取AB 的中点D '，连接CD '、PD '. ∵ABC ∆为正三角形，∴CD AB '⊥. 由于P 为1A B 的中点时，1//PD A A ' ∵1A A ⊥平面ABC ，∴PD '⊥平面ABC ，∴AB PC ⊥.……4′ （Ⅱ）当1:2:3A P PB =时，作P 在AB 上的射影D . 则PD ⊥底面ABC .作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE AC ⊥. ∴DEP ∠为二面角P AC B --的平面角。

又∵1//PD AA ，∴132BD BP DA PA ==，∴25AD a =.∴360DE AD sin =⋅=o ，又∵135PD AA =，∴35PD a =. ∴3PDtan PED DE∠=，∴P AC B --的大小为60PED ∠=o .…8′ （Ⅲ）设1C 到面PAC 的距离为d ，则11C PAC P ACC V V --=，∵1//PD AA ，∴//PD 平面1A C ,∴DE 即为P 点到平面1A C 的距离，又2222332355PE PD DE a a ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11133PAC ACC S d S DE ∆∆⋅⋅=⋅⋅.即21123113325325a d a ⎛⎫⋅⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得2a d =.即1C 到面PAC 的距离为12a .……12′ 【法二】以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，设(),0,P x z ，则(),0,0B a 、()10,0,A a 、3,,022a a C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）由0CP AB ⋅=u u u r u u u r 得()3,,0,002a a x z a ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 即02a x a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，∴12x a =，即P 为1A B 的中点，也即1:1A P PB =时，AB PC ⊥.…………4′（Ⅱ）当1:2:3A P PB =时，P 点的坐标是23,0,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 取()3,3,2m =--u r .则()233,3,2,0,055a a m AP ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪⎝⎭u r u u u r ，()33,3,202a a m AC ⎛⎫⋅=--⋅= ⎪ ⎪⎝⎭u r u u u r .∴m u r是平面PAC 的一个法向量。