孝感高中荆州中学 襄阳四中襄阳五中 八校2019 届高三第二次联考数学 (理科 )试题命题学校：孝感高中 命题人：王亚 武娟蒋志方 审题学校：荆州中学 审题人：冯钢陈静监制：全品大联考·武汉全品教育科技有限公司彭西骏考试时间： 2019 年 3 月 27 日星期三下午 3:00~5:00一、选择题 ( 本大题共要求的 )12 小题 , 每小题5 分, 共 第 I 卷60 分 . 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目1. 已知复数 z2i , 则 z 的共轭复数在复平面内对应的点在（）1 iA. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合{22 ,＜ , 则（）x yx xQ { x ln x 1}P QPA.(0,2]B.[-2,e)C.(0,1]D.(1,e) 3. 空气质量指数 AQI 是反映空气状况的指数 , AQI 指数值越小 , 表明空气质量越好 , 其对应关系如下表：AQI 指数0~5051~100101~150151~200201~300＞ 300下图是某市 空气质量 优10 月 1 日 ~20 日 良 轻度污染中度污染AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（重度污染）严重污染A. 这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100B. 这 20 天中的中度污染及以上的天数占 1/4C. 该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说 , 该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4. 若等差数列 { a n } 的公差为 -2, a 5 是 a 2 与 a 6 的等比中项 , 则该数列的前 n 项和 Sn 取得最大值时 , n 的值等于（）5. 将 5 个人从左至右排成一行, 最左端只能排成甲或乙 , 最右端不能排甲 , 则不同的排法共有（ ）种种种种6. 在△ ABC 中 , AD 为 BC 边上的中线 , 且 AE ED , 若 EBAB u AC , 则（ ）-11uB.D.337. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理” , 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾 股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 . 如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向6该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）3 B.3 4 - 3D.3A. 1-2C.4248. 函数 f (x)2cos x(sin x cos x)( x [,0]) 的最大值为（ ）2A. 1- 2D.129. 已知抛物线 y 22 px( p ＞ 0) 的焦点为 F , 过 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点 ( 点 A 在第一象限 ), 若直 线 l 的倾斜角为2 , AF（）则3BFA.1B.2C.1 D.2 352310. 如图 , 某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三 角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. 2 2B.10C. 2 3D.1311. 已知双曲线x 2 y 2 1(a,b ＞0) 的左、右顶点分别为 A, B , 右焦点为 F , 过点 F 且垂直于a 2b 2x 轴的直线 l 交双曲线于 M , N 2 点 , P 为直线 l 上的一点，当APB 的外接圆面积达到最小值时, 点 P恰好在( 或 ) 处 , 则双曲线的离心率为（ ）M NA.2B.3D.512. 已知函数 f (x)1 x2 1, x 0 f ( x) kx 有且只有 2 个零点 , 则实数 k 的取值2, 若函数 g( x) 2 ln(1 x ), x ＜范围为（）11A.(0,2)B.(0,2)C.(2,+ )D.(2,2)第II 卷二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分 , 把正确答案填在答题卡)x213.若 x, y 满足y2x, 则x2y 的最小值为_____.x y314. 已知函数f ()x3(a1)x231, 若f (x)在x 1 处取得极值,则曲线y f ( x) 在点x ax(0,f (0))处的切线方程为____.15.已知数列 {a} 满足a=2n∈ N*,≥2),若a=65, 则a=____.+2 -1(1n n n- 14(a,b)(a b)2(ln a b2)2b2(＞0,b) ,当a,b变化时(a,b)的最小值为_____.16.设44a R三、解答题 ( 本大题分为必考题和选做题两部分共70 分)17． (12 分 ) 在△中 , 角A,B,C 的对边分别是a,b,c，且向量=(2a-c, ) 与向量n=(cos,cos) 共线。
ABC m b C B （ 1）求B；（ 2）若b 37,a3, 且AD2DC ,求BD的长度.18． (12 分 ) 如图 , 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为直角梯形 , AD（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若 M是棱 PC上的一点,且满足PM 3MC,求二面角 M-BQ-C的大小.x2y21, F2,椭圆C上短19. （ 12 分）已知椭圆C：1(a＞ b＞0) 的离心率为, 左、右焦点分别为F1a2b22轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为 3 。
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过F1作垂直于x 轴的直线l交椭圆C于 A, B 两点(点A在第二象限), M , N 是椭圆上位于直线 l 两侧的动点,若 MAB NAB ,求证：直线 MN 的斜率为定值.20. (12 分 ) 红铃虫是棉花的主要害虫之一, 能对农作物造成严重伤害, 每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度 x 有关 , 现收集了以往某地的 7 组数据 , 得到下面的散点图及一些统计量的值。
平均温度 x / ℃ 21 23 25 27 29 32 35平均产卵数 y / 711212466 11325个5xyznn2(x ix)( z i z)(x i x)i 1i 1表中 z iln y, z 1 77z i（ 1）根据散点图判断 , y a bx 与 y ce dx( 其中 e=···为自然对数的底数 ) 哪一个更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度x 的回归方程类型？( 给出判断即可 , 不必说明理由 ) 并由判断结果及表中数据 ,求出 y 关于 x 的回归方程 .( 计算结果精确到小数点后第三位 )（ 2）根据以往统计 , 该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害, 需要人工防治 , 其他情况均不需要人工防治, 记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为 p( 0＜ p ＜1) .（ i ）记该地今后 5 年中，恰好需要 3 次人工防治的概率为 f ( p) ，求 f ( p) 的最大值，并求出相应的概率 p 0 .（ ii）当 f ( p) 取最大值时， 记该地今后 5 年中，需要人工防治的次数为 X ，求 X 的数学期望和方差 .附：对于一组数据 (x 1, z 1 ), ( x 2 , z 2 ),贩?(x 7 , z 7 ) ，其回归直线 za bx 想斜率和截距的最小二乘法估计7( x i x)( z iz)分别为： bi 1?bx .7, a z( x i x)2 ?i 121.（ 12 分）已知函数 f ( x)1x2a ln x . x（ 1）讨论f ( x)的单调性；（ 2）设g ( x) ln x bx cx2，若函数 f ( x) 的两个极值点 x1, x2( x1＜ x2)恰为函数 g( x) 的两个零点,且 y(x1 x2 ) g ( x1x2 ) 的范围是 [ln 2 2 ,) ,求实数 a 的取值范围。
23（二）选考题：共10 分。
请考生在第22、 23 题中任选一题作答, 如果多做 , 则按所做的第一题计分。
22.【选修 4—— 4：坐标系与参数方程】 (10 分 )x 1 t在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l :2t 为参数),以坐标原点 O 为极点,x轴的正半轴为(y 1 3 t2极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为4cos(- ) .(1)求曲线 C 的直角坐标方程；6(2)设点 M的极坐标为(1,) ，直线l与曲线C的交点 A, B ，求MA MB 的值。
223.【选修 4—— 5：不等式选讲】(10 分 ) 已知f ( x)x 1 ax 1 。
(1)当 a 1 时，求不等式 f (x) 4 的解集；(2)若 x( 0,1) 时，不等式 f (x)＜ x 2 恒成立，求实数 a 的取值范围。