图9-45 跟踪误差 的内模设计响应， 输入为单位阶跃响 应，初始跟踪误差 非零
2016年4月20日
跟 踪 误 差
时间(s)
19
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
其次，考虑参考输入为斜坡信号的内模 设计问题。单位斜坡参考输入信号为r(t)=t， 由下列系统生成：
0 1 r Ar xr x xr 0 0 r d r xr 1 0xr
控制系统状态空间设计
设计实例
内模控制器 自动检测系统
2016年4月20日
2
例9-43 内模控制器 在许多实际场合，状态变量反馈方法并 不是一种改善系统性能的实用方法。其主要 原因为： 其一，状态变量反馈往往要求用具有无 限带宽的PD控制器或PID控制器来实现，但 实际部件和控制器都只有有限的带宽； 其二，实际应用中通常无法测量和反馈 所有的状态变量，除了设置状态观测器以外， 实用的状态反馈综合装置只能依赖于系统的 输出、输入和少量的可测量的状态变量，从 而影响系统综合的效果。
2016年4月20日 3
内模控制器是另一类校正控制器，能以 零稳态误差渐近跟踪各类参考输入信号，如 阶跃信号、斜坡信号及正弦信号等。众所周 知，在经典控制理论中，对于阶跃输入信号， Ⅰ型系统可以实现零稳态误差跟踪。如果在 校正控制器中引入参考输入的内模，则可以 在状态空间设计法中推广这一结论。采用类 似的内模控制器方法，可以在更多的情况下 实现零稳态误差跟踪。
Y ( s)
k2
图9-43 阶跃输入的内模设计
2016年4月20日
x
10
R(s)
+
e -
k1
1 s
-
u
对象G(s)
1 s 2 2s 2
Y ( s)
k2
x
由图可见，在校正控制器中，除包含有 状态变量反馈外，还包含了参考阶跃输入的 内模（图中积分器环节），故称为内模控制 器。 下例为一个具体系统的单位阶跃输入内 模控制器的设计过程。
由于可控性矩阵 0 1 2 0 cb cAb 1 2 6 3 rank rank 2 b Ab A b 2 6 8 满秩，增广系统可控，
2016年4月20日 13
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
s (k2 2k3 2) s (k1 2k2 k3 ) s 4k1 0
3 2
s 12s 22s 20 0
3 2
令上述两个特征方程式的对应项系数相等， 解得 k1=-5，k2=7.83，k3=1.09 或者 k1=-5，k2=2.17，k3=3.91 则由式(9-419)得到内模控制律为
2016年4月20日 11
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
设有
1 0 1 (t ) x x (t ) u (t ) 2 2 2 y (t ) 1 0x (t )
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位 阶跃参考输入信号。
1 0 0
0 e 0 c e 0 w A z b
若系统(9-420)可控，即
0 rank 0 b
w k1
2016年4月20日
0 cb Ab
cb cAb A2 b
cAb 2 cA b n 2 A3 b
u(t ) 5 e( )d 7.83x1 (t ) 1.09 x2 (t )
0
t
相应的单位阶跃输入内模控制系统的结构图 如图9-44所示。
2016年4月20日 17
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。 1.09
r
e
5
1 s
u
2
2 1 x2 x 1 1 x1=y x
2016年4月20日 8
当增广系统可控时，即
0 cb cAb cAn2b rank n 1 2 n 1 Ab A b b Ab
总可以找到反馈信号
w(t ) k1e(t ) k2 z(t )
使该系统渐近稳定。这表明跟踪误差e(t)是 渐近稳定的，因此系统输出能以零稳态误 差跟踪参考输入信号。
(t )，w(t ) u (t ) z (t ) x (t ) Ax (t ) bu (t ) (t ) z x Az(t ) bw(t )
2016年4月20日
7
(t ) (t ) y (t ) cx e (t ) Az(t ) bw(t ) z
则式(9-414)与式(9-415)构成如下增广系统方程
0 c e 0 e w z 0 A z b
当增广系统可控时，即
0 cb cAb cAn2b rank n 1 2 n 1 Ab A b b Ab
2016年4月20日 9
w(t ) k1e(t ) k2 z(t )
对式(9-418)求积分，可得系统内部的反馈 控制信号为 t
与此对应的框图模型如图9-43所示。
R(s)
+
u(t ) k1 e( )d k2 x(t )
0
e -
k1
1 s
-
u
对象G(s)
1 s 2 2s 2
2016年4月20日
e k3 z1 z 2
14
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
0 1 0 0 e z 1 0 0 1 1 k k 1 2 0 2 2 2 z 2
其中，初始条件未知。
2016年4月20日
r (t ) d r xr (t )
5
此外，参考输入r(t)的生成系统也可以等 效为
r (t ) n1r
(n)
( n 1)
(t ) n2 r
( n2)
(t )
(t ) 0 r (t ) 1r
首先考虑参考输入r(t)为单位阶跃信号时 的内模控制器设计。此时，r(t)可由下列方程 生成：
r (t ) 0，r (t ) xr (t ) x
或等价为
2016年4月20日
(t ) 0 r
6
定义跟踪误差
e(t ) r (t ) y(t )
于是有
(t ) (t ) y (t ) cx e
现在，引入两个中间变量z(t)和w(t)，其 定义为：
故有
2016年4月20日 20
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
设单输入-单输出系统的状态空间表达式为
(t ) Ax (t ) bu (t ) x
r (t ) n1r (t ) n2 r (t ) 0 r (t ) 1r
(n) ( n 1)
e k3 z1 z 2
如果要求闭环极点为s1，2=-1±j，s3=-10，则希 望特征方程为
( s 1 j )( s 1 j )( s 10) 3 2 s 12s 22s 20
0
2016年4月20日 15
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
y (t ) cx (t )
( n2)
(t )
单位斜坡参考输入信号为r(t)=t 且有 r(t ) 0，则对于单输入 单输出系统
(9 409)，定义跟踪误差e r y，有
(t ) (t ) (t ) c e y x
2016年4月20日 21
0 1 0 0 e z 1 0 0 1 1k1 k 2 0 2 2 2 z 2
e k3 z1 z 2
2016年4月20日
0 e 0 c e 0 w （9-420） A z b
22
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
e 0 e 0 z 0
而实际特征方程为
1 0 s det k s k k 1 2 3 1 2k1 2(1 k 2 ) s 2 2k3 s 3 (k 2 2k3 2) s 2 (k1 2k 2 k3 ) s 4k1 0
2016年4月20日 16
2016年4月20日
12
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
由式(9-416) 0 c e 0 e w z 0 A z b
0 1 0 e 知增广系统方程为 0 0 1 z 0 2 2 0 e z 1 w 2
故通过状态反馈
e w k k1e k 2 z1 k3 z2 z
式中k=[k1 k2 k3]，可任意配置闭环增广系统 的极点。
0 1 0 0 e z 1 0 0 1 1 k k 1 2 0 2 2 2 z 2
2016年4月20日 4
设单输入-单输出系统的状态空间表达式为
(t ) Ax (t ) bu (t ) x y (t ) cx (t )
其中，x∈Rn为状态向量，u为标量输入，y 为标量输出，A、b和c维数适当。 生成参考输入信号r(t)的线性系统为