Y(s)
1
s2 2s 2
x
k2
由图可见，在校正控制器中，除包含有 状态变量反馈外，还包含了参考阶跃输入的 内模（图中积分器环节），故称为内模控制 器。
下例为一个具体系统的单位阶跃输入内 模控制器的设计过程。
2020年7月29日
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要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
设有
x (t)
令上述两个特征方程式的对应项系数相等，
解得
k1=-5，k2=7.83，k3=1.09
或者 k1=-5，k2=2.17，k3=3.91
则由式(9-419)得到内模控制律为
t
u(t) 5 0 e( )d 7.83x1(t) 1.09x2 (t)
相应的单位阶跃输入内模控制系统的结构图
如图9-44所示。
2020年7月29日
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要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
1.09
控制系统状态空间设计
设计实例
内模控制器 自动检测系统
2020年7月29日
2
例9-43 内模控制器 在许多实际场合，状态变量反馈方法并
不是一种改善系统性能的实用方法。其主要 原因为：
其一，状态变量反馈往往要求用具有无 限带宽的PD控制器或PID控制器来实现，但 实际部件和控制器都只有有限的带宽；
其二，实际应用中通常无法测量和反馈 所有的状态变量，除了设置状态观测器以外， 实用的状态反馈综合装置只能依赖于系统的 输出、输入和少量的可测量的状态变量，从 而影响系统综合的效果。
(s 1 j)(s 1 j)(s 10)
s3 12s2 22s 20
0
2020年7月29日
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要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
e 0 1 0 0
e
z1
0
0
1
1k1
k2
k3
z1
z2 0 2 2 2
z2
而实际特征方程为
s det k1
2k1
1 s k2 2(1 k2 )
0
k3 1
s 2 2k3
s3 (k2 2k3 2)s2 (k1 2k2k3)s 4k1
0
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要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
s3 12s2 22s 20 0
s3 (k2 2k3 2)s2 (k1 2k2k3)s 4k1 0
2020年7月29日
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设单输入-单输出系统的状态空间表达式为
x (t) Ax(t) bu(t)
y(t) cx(t)
其中，x∈Rn为状态向量，u为标量输入，y 为标量输出，A、b和c维数适当。
生成参考输入信号r(t)的线性系统为
xr (t) Ar xr (t)
r(t) dr xr (t)
其中，初始条件未知。
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e(t) y(t) cx(t) z(t) Az(t) bw(t)
则式(9-414)与式(9-415)构成如下增广系统方程
e z
0 0
c
A
e z
b0w
当增广系统可控时，即
0 cb cAb cAn2b
rank b Ab
A2b
An1b
n1
2020年7月29日
2020年7月29日
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内模控制器是另一类校正控制器，能以 零稳态误差渐近跟踪各类参考输入信号，如 阶跃信号、斜坡信号及正弦信号等。众所周 知，在经典控制理论中，对于阶跃输入信号， Ⅰ型系统可以实现零稳态误差跟踪。如果在 校正控制器中引入参考输入的内模，则可以 在状态空间设计法中推广这一结论。采用类 似的内模控制器方法，可以在更多的情况下 实现零稳态误差跟踪。
0 2
1
1
2 x(t) 2u(t)
y(t) 1 0x(t)
要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位 阶跃参考输入信号。
2020年7月29日
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要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
由式(9-416)
e z
0 0
c
A
e z
b0w
知增广系统方程为
e z
0 0 0
1 0 2
0
0
1
2
对式(9-418)求积分，可得系统内部的反馈
控制信号为
t
u(t)
k1
e( )d
0
k2 x(t)
与此对应的框图模型如图9-43所示。
R(s) +
-
e
k1
1s-
u 对象G(s)
Y(s)
1
s2 2s 2
x
k2
图9-43 阶跃输入的内模设计
2020年7月29日
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R(s) +
-
e
k1
1-
s-
u 对象G(s)
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当增广系统可控时，即
0 cb cAb cAn2b
rank b Ab
A2b
An1b
n1
总可以找到反馈信号
w(t) k1e(t) k2z(t)
使该系统渐近稳定。这表明跟踪误差e(t)是 渐近稳定的，因此系统输出能以零稳态误 差跟踪参考输入信号。
2020年7月29日
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w(t) k1e(t) k2z(t)
或等价为
r(t) 0
2020年7月29日
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定义跟踪误差
e(t) r(t) y(t)
于是有
e(t) y(t) cx(t)
现在，引入两个中间变量z(t)和w(t)，其 定义为：
z(t) x(t)，w(t) u(t) 故有 z(t) x(t) Ax(t) bu(t)
Az(t) bw(t)
e 0 1 0 0
e
z1
0
0
1
1k1
k2
k3
z1
z2 0 2 2 2
z2
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要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
e 0 1 0 0
e
z1
0
0
1
1k1
k2
k3
z1
z2 0 2 2 2
z2
如果要求闭环极点为s1，2=-1±j，s3=-10，则希 望特征方程为
2020年7月29日
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此外，参考输入r(t)的生成系统也可以等 效为
r (n) (t) n1r (n1) (t) n2r (n2) (t)
1r(t) 0r(t)
首先考虑参考输入r(t)为单位阶跃信号时
的内模控制器设计。此时，r(t)可由下列方程
生成：
xr (t) 0，r(t) xr (t)
e z
1w 2
由于可控性矩阵
0 1 2
0 cb cAb
rank b Ab
A2b
满秩，增广系统可控，
rank
1 2
2 6
6 3 8
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要求系统输出能以零稳态误差跟踪单位阶跃参考输入信号。
故通过状态反馈
e
w
k
z
k1e
Байду номын сангаас
k2
z1
k3
z2
式中k=[k1 k2 k3]，可任意配置闭环增广系统 的极点。