第60讲 概率论初步
教学目标：1、理解各项概念；
2、概率问题计算；
3、频率⇔经验概率．
教学重点难点：概率问题如何具体问题具体分析．
一、问题引入
骰子6面6个数，投掷一次出现1朝上的可能性是16
，各种结果情况的可能性不是对任意数量总体均匀按照16
比例出现的，而是当试验次数达到一定数量后体现出来的一种结果分布数量规律． 概率论：研究试验中随机现象、随机事件出现的数量规律．
二、教学过程
1、基本事件：一次实验可能出现的结果．（实验随机出现的结果）
基本事件是试验中必然会出现的结果．
2、古典概型：经典概率模型
①一次试验所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等，地位等价．
3、随机事件：随机事件由基本事件构成（0个or 若干个or 全部个）．
随机事件可能发生，可能一定会发生，也可能一定不会发生．
常将随机事件记为：事件A 、事件B ，等等．
4、用集合语言：1w ，2w ，3w ，，n w 表示所有的基本事件，将由所有基本事件构成的集合记作
{}123,,,n w w w w Ω=，则可以看作Ω—全集，A —子集，n w —元素．
5、古典概型中，随机事件A 出现的概率定义为
6、我们把试验后必定会出现的事件叫做必然事件（随机事件含有全部基本事件），记作Ω；
把不可能出现的事件叫做不可能事件（随机事件不含有任何基本事件），记作∅．
特点：①不可能事件的概率为零，即()0P ∅=；
②必然事件的概率为1，即()1P Ω=；
③对任意随机事件E ，有()01P E ≤≤；
④若{}123,,,n w w w w Ω=，则()()()121n P w P w P w +++=．
例1、掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：
（1）出现5点； （2）出现奇数点； （3）出现的点数大于4；
（4）出现7点； （5）出现的点数小于7．
例2、掷两颗骰子得到两个数的点数差为2的概率？
例3、一个罐子里有同样大小、同样重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是无色的，经充分混合后，求下列事件的概率：
（1）从罐子里任意取出1个球为红色玻璃球；
（2）从罐子里任意取出1个球为有色玻璃球；
（3）从罐子里任意取出3个球都是黑色球．
7、对立事件
A与Ω的包含关系中，集合A中是随机事件A发生所包含的所有基本事件，而集合A外是事件A不发生所包含的所有基本事件，类似于补集的概念，称其为事件A的对立事件A，易知()()1
+=．
P A P A 严格定义：设E和F是两个随机事件，我们把满足下列条件的E和F叫做对立事件：
①E F=Ω；
②E Fφ
=．
例4、在100件产品中，有90件是一等品，10件是二等品，从中随机取出4件产品．
（1）其中没有二等品的概率；
（2）其中恰有1件二等品的概率；
（3）其中至少有1件二等品的概率；
（4）其中至多有2件二等品的概率；
（5）其中一等品、二等品均不少于1件的概率．
练习、掷三枚均匀硬币，求下列事件的概率：
（1）三枚硬币都是字朝上；
（2）三枚硬币中至少一个字朝上，一个图朝上．
例5、若将互不相同的4本语文书，3本数学书和2本外语书随机的并列在书架上，求下列事件的概率：（1）语文书、数学书、外语书各自相邻，数学书不能排两端；
（2）从左到右依次为语、数、外，或从右到左依次是外、数、语；
（3）若3本数学书记为A、B、C，从左到右按照A、B、C的顺序排列．
例6、从全班40位同学中随机抽取4人依次发言，求下列事件的概率：
（1）甲、乙、丙三人正好被抽到，而且按此次序先后发言；
（2）甲、乙、丙中至少有一人被抽中发言．
例7、小王复习迎考，复习了100个题，只学会其中80个，如果试卷是从100个题中随机抽取30个题构成，做对28、29或30题为优秀，做对27题算及格．
（1）小王获优秀的概率；
（2）小王至少能够及格的概率；
（3）小王不及格的概率．
例8、A、B、C、D四封信投入1、2、3号三个信箱，
（1）A信投入1号或2号信箱的概率；
（2）3个信箱都非空的概率；
（3）3号信箱有两封信．
8、频率：对于随机事件E，如果在n次试验中出现了m次（0m n
≤≤），那么m称为事件E出现的频数，m
n
称为事件E出现的频率．
实践证明：事件出现的频率常在该事件的概率（固定常数）附近摆动，这种规律性叫做频率稳定性或随机现象的统计规律性．
9、频率稳定性：①在大量实验中，事件出现的频率与其概率很接近；
②当试验次数无限增大时，事件出现的频率与概率相差较大的可能性趋近于0．
大数定律：频率在大数次试验中稳定于某一常数（概率）．
10、频率也叫做经验概率，计算频率通常是为了估计概率．
例9、掷一枚均匀的硬币100次，其中54次出现正面，求出现正面的频率．
三、课后练习
1、某班10位同学中至少有2位同学在同一月生日的概率是．
2、从3名男生和n名女生中，任选3人参加会议，已知选出3人中至少有1名女生的概率是34
35
，则
n=．
3、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率是．
4、从1到100这100个正整数中任取3个数，其积为3的倍数的概率是，其和为3的倍数的概率是．
5、在平面直角坐标系中，从6个点：()
0,0
A，()
2,0
B，()
1,1
C，()
0,2
D，()
2,2
E，()
3,3
F中任取3个，这三点能够成三角形的概率是．
6、电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由4个数字构成，则一天中任一时刻显示的4个数字之和为23的概率为．
7、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是．
8、两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱中至少有一封信的概率为．
9、三个好朋友同时考进同一所高校，该高校有10个专业，则至少有2人分在同一专业的概率为．
10、在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施6道程序，则满足程序A只能出现在最后一步，且程序B和程序C必须相邻实施的概率为．
11、正方体骰子六个表面分别刻有1~6的点数．现同时掷了两枚骰子，则得到点数之和大于10的概率为．
12、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆2216
x y
+=内的概率是．
13、国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）
14、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇．若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是．（结果用分数表示）
15、从数字1、2、3、4、5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是．
16、某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为．
17、四位同学各自制作了一张贺卡，分别装入4个空白信封内，这四位同学每人随机地抽取一封，则恰好有一人抽到的贺卡是其本人制作的概率是．
18、三阶矩阵
111213
122223
132333
a a a
a a a
a a a
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎝⎭
中有9个数
ij
a（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个
数位于同行或同列的概率是．（结果用分数表示）
19、（虹口二模）袋中有形状相同的黑球、白球和红球共10只．已知从袋中任意摸出一个球，得到黑球的
概率为2
5
；从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球的概率为
7
9
．求：
（1）从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球的概率；（2）袋中白球的个数．。