运筹学生产与存储问题
• 在生产和经营管理中，经常遇到要合理地安排生 产(或购买)与库存的问题，达到既要满足社会的
需要又要尽量降低成本费用。因此，正确制定生 产(或采购)策略，确定不同时期的生产量(或采购 量)和库存量，以使总的生产成本费用和库存费用
之和最小，这就是生产与存贮问题的最优化目标 。
生产计划问题
4
81.2
16
97.2
9
3
73.2
23.4
96.6
8
2
65.2
30.8
96
7
1
57.2
38.2
95.4
6
0
49.2
45.6
94.8
7
10
5
81.4
8.6
90
9
4
73.4
16
89.4
8
3
65.4
23.4
88.8
7
2
57.4
30.8
88.2
6
1
49.4
38.2
87.6
5
0
41.4
45.6
87
○3 k=2 时 确定 x2 的取值范围 因为 x1=0，0≦u1≦10，且 d1=6，且 x3≧2 因此 0≦x2≦4 即 x2=0,1,2,3,4. 对于 x2 的每个确定值，分别求出 u2 的可能取值 X2=0 时，u2=10，9 X2=1 时，u2=10，9，8 X2=2 时，u2=10，9，8，7 X2=3 时，u2=10，9，8，7，6 X2=4 时，u2=10，9，8，7，6，5
+
2
10
0
80.4
45.6
126
3
10
1
80.6
38.2
118.8
9

0
72.6
45.6
118.2
4
10
2
80.8
30.8
111.6
9
1
72.8
38.2
111
8
0
64.8
45.6
110.4
5
10
3
81
23.4
104.4
9
2
73
30.8
103.8
8
1
65
38.2
103.2
7
0
57
45.6
102.6
6
10
• 大批量生产可以降低成本，但当产量大于销量时 就会造成产品积压而增加库存费用；单纯按市场 要求安排生产也会因为开工不足或加班加点造成 生产成本增加。因此合理利用存贮资源调节产量， 满足要求是十分有意义的。
• 现设有一个生产部门，生产计划周期为n个阶段， 已知最初库存量为x1 ，阶段需求量为d k ，单位产 品的消耗费用是l k ，单位产品的阶段库存费用为h k ， 仓库容量为 m k ，阶段生产能力为b k ，生产固定成 本为 c k 。问如何安排现阶段的产量，使计划期内 的费用综合为最小？
+
0
10
3
72
118.2
190.2
9
2
64.8 126
190.8
1
10
4
72.2 110.4
182.6
9
3
65
118.2
183.2
8
2
57.8 126
183.6
2
10
5
72.4 102.6
175
9
4
65.2 110.4
175.6
8
3
58
118.2
176.2
7
2
50.8 126
176.8
3
10
6
72.6 94.8
•该问题本身就是一个多阶段决策问题，设状态变量
为 已知，x为1 计kx阶k 划段期初末的的库库存存量量，通由常于也计是划给期定初的的，库为存简量单
起见，假定 ：
=0，于x(n是1) 状态变量 的约束条x k 件是
•决策变量uk选为阶段k的产量，它满足的约束条件 是：
状态转移方程为， 。
它满足无后效性的要求
，12台，故x4=0，1，2，3，4，5台
表1 k=4时
+
0
6
0
45.6
0
45.6
1
5
0
38.2
0
38.2
2
4
0
30.8
0
30.8
3
3
0
23.4
0
23.4
4
2
0
16
0
16
5
1
0
8.6
0
8.6
○2 k=3 时 因为 d3=12，d1=6，d2=7，x1=x5=0.每月的最大生产能力为 10 台，故 2≦x3≦7 当 x3=2，u3=10 x3=3，u3=10，9 x3=4，u3=10，9，8 x3=5，u3=10，9，8，7 x3=6，u3=10，9，8，7，6 x3=7，u3=10，9，8，7，6，5
• 阶段效用由两阶段组成，一部分为生产费用，另 一部分为存贮费用，即：
• 动态规划基本方程为：
•某机床厂根据合同，在一至四月份为客户生产某种机床。工厂每月的生 产能力为10台，机床可以库存，存储费用为每台每月0.2万元，每月需要
的数量及每台机床的生产成本如下表。试确定每月的生产量，要求既能 满足每月的需求，又能使生产成本和存储费用之和达到最小
• 综上所述，该生产与存储问题的最优化安排是： • 第1个月生产10台，费用为70万元； • 第2个月生产10台，费用为72.8万元； • 第3个月生产5台，费用为41.4万元； • 第4个月生产6台，费用为45.6万元。 • 一至四月的生产与存储费用最小为229.8万元。
表4 k=1
0
10
4
70
159.8 229.8
0
9
3
63
167.4 230.4
0
8
2
56
175
231
0
7
1
49
182.6 231.6
0
6
0
42
190.2 232.2
○5 求全过程最优指标函数与最优化策略 由 k=1.可以求出其全过程最优指标函数 f1(x1)；由 k=1 至 k=4 各表，可以依次求出第 1，2，3，4 各阶段的最优策略，进 而得到最优策略。由表 1 可知。在年初无库存的情况下，四 个月的最小费用 f1(0)为 229.8 万元。且第一阶段的最优决策 u1=10 台，第一阶段末即第二阶段初的最优库存 x2=4 台。 根据 x2=4 台查表 3 可知，第二阶段的最优决策 u2=10 台， 因此库存 x3=7 台。 根据 x3=7 台，查表 2 得，第三阶段的最优决策 u3=5 台，因 此 x4=0 台，查表 1 得 u4=6 台。这样到最后一个月恰好无库 存，即 x5=0。
表 需求量及生产成本
月份
1
2
3
4
需求（台）
6
7
12
6
生产成本（万元/台）
7
7.2
8
7.6
• 3.逆序逆推计算
○1 k=4 时 按照问题的各种约束条件，确定状态变量 x4 的取值范围。 按穷举法的思路，在量化的精度内，确定状态变量 x4 的全 部可能取值。
• 又x5=0，d4=6 所以有x4+u4=6 • 又因为每个月的最大生产能力为10台。第1，2，3月的需求量为6，7
167.4
9
5
65.4 102.6
168
8
4
58.2 110.4
168.6
7
3
51
118.2
169.2
6
2
43.8 126
169.8
4
10
7
72.8 87
159.8
9
6
65.6 94.8
160.4
8
5
58.4 102.6
161
7
4
51.2 110.4
161.6
6
3
44
118.2
162.2
4、k=1时 确定x1的取值范围 X1=0 确定u1的取值范围 因为d1=6，x1=0。故6≦u1≦10 所以u1=10，9，8，7，6