4 6
Q3
2 1
3、用割集矩阵Q表示的KCL的矩阵形式
②
Qi=0
（支路电流 i=[i1 i2
Q1 i1 i2 i3 i4 i5 i6
①
3
6 2
4
Q3
③
… ib]T）
0 1 0 1 0 0 0 1
-1 -1 1 Qi = 1 0 0
④
1
5
Q2
-1 -1 0 -1
-i1 -i2 +i3
= i1 +i4 +i5 -i1 -i2 -i4 +i6 =0 即：属于一个割集的所有支 路电流的代数和等于零
1 0 0 -1 -1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 -1 -1 -1
ut1 ut1 ut2 = ut3 ut2 ut3 -ut1+ ut2- ut3 -ut1- ut3 ut2- ut3
四、割集矩阵
• 设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集关联。 • 支路与割集的关联性质可用割集矩阵描述。
•
下面仅介绍独立割集矩阵，简称割集矩阵。
割集方向： 移去割集所有支路，G被分割成两部分
后， 从其中一部分指向另一部分的方向。
每一个割集只有两个可能的方向。
1、独立割集矩阵（简称割集矩阵）
1 2 3 1 0 1 0 1 1 0 0 0
4 5 0 -1 0 0 1 -1
6 1 1 1
i=BTil=
i1 i2 i3 i4 i5 i6
=
1 0 1 0 -1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 -1 1 1
il1 il2 = il3
il1 il2 il1+ il2 il3 -il1 -il3 il1 +il2 +il3
例如：
3 ① 2
②
4
独立回路数为3，选其中一组
3 3 6 4
6
④ 1 5
③
2
5 2
6
6
3
5
1
1
1 B= 2 3
1 1
0
2 0
1
3 1
1
4 5 0 -1
0 0
6 1
1
0
0
0
1 -1
1
2、基本回路矩阵 如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回 路组，这种回路矩阵就称为基本回路矩阵，用Bf表示。 写Bf时，注意安排其行列次序如下： 1、把l条连支依次排列在对应于Bf的第1到第l 列， 然后再排列树支； 2、取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的 序号，（二者要一致） 3、以该连支的方向为对应的回路的绕行方向， Bf中将出现一个l 阶的单位子矩阵， 即有
il=[il1 il2 … ill]T
各支路电流 i=BTil =
i1 i2
。 。 。
in
上式表明电路中各支路电流可以用与该支路关联 的所有回路中的回路电流表示，这正是回路电流法的 基本思想。
例如： 3
① 2
② 4 6 ④ 5 1 ③
3
6
3
4
2
5 2
6
6
3
5
1
1
1 用矩阵B表示的KCL的矩阵形式：B = 2 3
u=Qf ut
上式表明电路的支路电压可以用树支电压（割 集电压）表示，这就是割集电压的基本思想。
② 3 ① 2 ④ 1
3
选支路3、5、6为树支
4 ③ 5
1 2
6
割集 (树支)电压 ：ut=[ut1 ut2 ut3]T
支路电压u=[u3 u5 u6 u1 u2 u4]T3Leabharlann 5u=QfTut=
6 1 2 4
§15.2 关联矩阵、回路矩阵、 割集矩阵
一、有向图
电路的图是电路拓扑 结构的抽象描述，若图中每 一支路都赋予一个参考方向， 它成为有向图。
②
i3
① i6
i4 ③
有向图的性质可以用 关联矩阵、回路矩阵和割集 矩阵描述。
i2 i1
④
i5
二、关联矩阵
1、支路和结点关联 设一条支路连接于某两个结点，则称该支路 与这两个结点相关联。 2、关联矩阵 设有向图的结点数为n，支路数为b，且所有 结点与支路均加以编号。 于是，该有向图的关联矩阵为一个(n×b)阶 的矩阵，用Aa表示。 它的行对应结点，列对应支路。 它的任一元素ajk定义如下：
上式表明电路中的各支路电压可以用与该支 路关联的两个结点的结点电压表示，这正是结点 电压法的思想。
例如：
3 ① 2
② 4 6 ④ 5 ③
④是参考节点，电压为零
A=
-1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 u= ATun -un1 +un3 -un1 un1 -un2 -un2 +un3 un3 un2
5、用矩阵A表示的KVL的矩阵形式 电路中的b个支路电压可以用一个b阶列向量表示 (n-1) 个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示
u=[u1 u2 … ub]T
un=[un1 un2 … un(n-1)]T
用矩阵A表示的KVL的矩阵形式 u= ATun （注：转置矩阵：A的每一行是AT的每一列）
1
1 2 3
u1 u2 u3 u4 = u5 u6
1
2
3 4 5 6
-1 0 -1 0 1 -1 0 -1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 0
un1 un2 un3
=
u= ATun
KVL的矩阵形式
三、回路矩阵
1、独立回路矩阵：简称回路矩阵。 一回路由某些支路组成，则这些支路与该回路关联。 设有向图的独立回路数为l，支路数为b，对所有独立 回路和支路均加以编号，于是， 该有向图的回路矩阵是一个l×b的矩阵，用B表示。 B的行对应一个回路，列对应于支路， 它的任一元素，bjk定义如下： bjk = +1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向一致； bjk = -1，表示支路k与回路j关联，并且它们的方向相反； bjk = 0，表示支路k与回路j无关联。
4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式 电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示
i=[i1 i2 … ib]T
Ai = 结点1上的∑i 结点2上的∑i …… 结点(n-1)上的∑i
因此有 用矩阵A表示的 KCL的矩阵形式 Ai =0
例如：
3 ① 2
② 4 6 ④ 5 1 1 2 3 2 3 4 5 6 ③
Bf=[1l |Bt]
l和t分别表示与连支和树支对应的部分
② 3 ① 6 4 ③ 5 1
3
6
3
4
2
5 2
6
6
3
5
2
④ 1
1
选3，5，6为树支 1l 基本回路矩阵
1
2
3
4
5
6
1 B=2 3
1
1 0 1 0 -1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 -1 1
2 4 3 5 6
1 Bf = 2 3
4、用基本割集矩阵Qf 表示的KVL的矩阵形式
假设(n-1)个树支电压：ut=[ut1 ut2 … ut(n -1)]T
由于通常选单树支割集为独立(基本)割集，此 时树支电压又可视为对应的割集电压，所以ut 又是 基本割集组的割集电压列向量。 由于Qf 的每一列，也就是QfT 的每一行，表示 一条支路与割集的关联情况，按矩阵相乘的规则可 得支路电压： T
Qf=[1t|Ql]
式中下标t 和l 分别表示对应于树支和连支部分。
例如：
3 ①
② 4 6 ③
Q1
3
4
2
④
5
1
2
5 1
Q2
1
选支路3、5、6为树支 写出基本割集矩阵Qf ： 3 5 6 1 2 4 1 1 0 0 -1 -1 0 Qf = 2 0 1 0 1 0 1 3 0 0 1 -1 -1 -1
1
2
3
4
5
6
3、降阶关联矩阵
1 Aa= 2 3 4
-1 -1 +1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0 0 +1 0 0 -1 -1
当把所有行的元素按列相加就得一行全为零的 元素，所以Aa的行不是彼此独立的。 或者说按Aa的每一列只有+1和-1两个非零元素 这一特点。 Aa中的任一行必能从其他(n-1)行导出。 如果把Aa的任一行划去，剩下的(n-1) ×b矩阵 用A表示，并称为降阶关联矩阵。 今后主要用这种降阶关联矩阵，往往省去“降 阶”二字。
例如：
3 ①
② 4 6 ③
Q1
3
4
2
④
5 1
2
5 1
Q2
1
选支路3、5、6为树支，独立割集数为3 割集矩阵 1 2 3 -1 -1 1 1 0 0 4 0 1 5 0 1 0 6 0 0 1
1
6
4
Q3
Q=
1 2 3
2
-1 -1 0 -1
2、基本割集矩阵
如果选一组单树支割集为一组独立割集，这种 割集矩阵就称为基本割集矩阵，用 Qf 表示。 写 Qf 时，注意安排其行列次序如下： 1、把(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1到第 (n-1) 列，然后再排列连支； 2、取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的 序号相同， 3、选割集方向与相应树支方向一致， 则 Qf 有如下形式
它的任一元素ajk定义如下： ajk= +1，表示支路k与结点j关联并且它的方 向背离结点； ajk= -1，表示支路k与结点j关联并且它指向 结点； ajk= 0，表示支路k与结点j无关联。