曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明邢家省，王拥军（北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191）摘 要: 给出3R 中曲面的3 个基本形式的系数矩阵之间关系的一个直接 证明, 并由此得到曲面的3 个基本形式之间的关系表示及其一些 应用.关键词: 第三基本形式; 法曲率的最值; 测地挠率 中图分类号: O186. 11 文献标识码: A曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示是一个重要结论[19]-，对其证明引起了人们的极大兴趣.我们在已有方法的基础上，经过综合分析和领会，发现了一套自然合理的推导转换的过程，给出了直接简单自然的证明过程.1曲面的第三基本形式用第一和第二基本形式表示的证明设曲面:(,)r r u v ∑= 是2C 类的正则曲面.曲面∑上一点(,)P u v 处的单位法向量为n.我们采用文献[1-3]中的记号.收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（11171013），北京航空航天大学教改项目基金资助作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,博士，副教授,从事数学教学和科研工作.Email:xjsh@ .令,,u u u v v v e n n f n n g n n =⋅=⋅=⋅ ，,,e f g 称为曲面∑的第三类基本量.用III 表示曲面∑的第三基本形式[13]-： 22()2()e du fdudv g dv III=++ .曲面的第三基本形式可以用第一和第二基本形式来表示，在文献[1-3]中是在曲面上选取了曲率线网作为坐标曲线网后，给予证明的.我们在曲面上选取正交曲线族为坐标曲线网下，给出证明.选取曲面∑上的正交曲线族为坐标曲线网.设曲面:(,)r r u v ∑= 上的坐标曲线网是正交网. 则有0u v F r r =⋅=，曲面的第一基本形式22()()E du G dv I =+， 曲面的第二基本形式22()2()L du Mdudv N dv II=++，高斯曲率2LN M K EG -=，平均曲率2LG NE H EG +=.因为1,n n ⋅=所以0,0u v n n n n ⋅=⋅= ，从而,,u u v n r r共面，,,v u v n r r共面，设12u u v n a r a r =+，则有12,L M a a E G =-=-； 设12v u v n b r b r =+，则有12,M N b b E G=-=- . 于是2212u u u u v v e n n a r r a r r =⋅=⋅+⋅22222L G M E L G LNE LNE M EHL KEEG EG++-+===-，1122u v u u v v f n n a b r r a b r r =⋅=⋅+⋅ 2LGM NEMHM EG+==，2212v v u u v vg n n b r r b r r =⋅=⋅+⋅22222M G N E LGN N E LNG M G HN KGEG EG++-+===-，代入第三基本形式，可得到2H K III=II -I .2 曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系设曲面:(,)r r u v ∑= 是2C类的正则曲面.曲面∑上一点(,)P u v 处的单位法向量为n.定理1[4,5]设E F A F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，L M B M N ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ef C fg ⎛⎫= ⎪⎝⎭分别是曲面在(,)P u v 点处的第一、第二、第三基本形式的系数矩阵. 则有 1C BA B -= ， （1）证明 因为1,n n ⋅=所以0,0u v n n n n ⋅=⋅= ，从而,,u u v n r r 共面，,,v u v n r r 共面；存在1212,;,a a b b ，使得12u u v n a r a r =+，12v u v n b r b r =+;写成矩阵形式为 1212u u v v n r a a n r b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记1212a a D b b ⎛⎫=⎪⎝⎭，则有u u v v n r D n r ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 两边左乘(),T u u v v r r r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到()(),,u u u v u v v v n r r r D r r n r ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即u u u v u u u v v u v v v u v v n r n r r r r r D n r n r r r r r ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭， 由基本量的计算公式，得L M E F D M N F G --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，于是成立B DA -=，从而有1D BA -=-，所以得出1u u v v n r BA n r -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，u u u v v u v v n n n n e f C nn n n f g ⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭()(),,u u T T u v u v v v n r n n D r r D DAD n r ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111()()BA A A B BA B ---=--=，故成立1C BA B -= .3 法曲率最值的特征值及特征向量性质考虑法曲率n k 的最值和最值方向的特征值、特征向量性质.令E F A F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭，L M B MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x X y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；则有 n k II=I2222()2()()2()L du Mdudv N dv E du Fdudv G dv ++=++(,)(,)du du dv B dv du du dv A dv ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫⎪⎝⎭. 因此，最大值、最小值问题转化为讨论()T f X X BX =在条件1T X A X =下的最大值、最小值问题。

因为2{:1}TS X R X AX =∈=是有界闭集，()T f X X BX =在S 上连续，所以()f X 在S 上存在最大值M k 和最小值m k .存在,M m X X S ∈，使得(),()M M m m f X k f X k ==.记||||A X =对任意的实数t 及2h R ∈都有，m m m A X th k f X th ⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭，M M M A X th f k X th ⎛⎫+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭，经过展开计算，可得T T M M M X Bh k X Ah =，（任意2h R ∈），从而,T TM M M M M M X B k X A BX k AX ==， 1M M M A BX k X -=; 同理可证m m m BX k AX = ，1m m m A BX k X -= 方程组()0M M B k A X -=，()0m m B k A X -=， 有非零解当且仅当||0M B k A -=，||0m B k A -=.由于 ||||L M E F L E M F B A M N F G M FN Gλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2()()()L E N G M F λλλ=----222()(2)()EG F LG MF NE LN M λλ=---++-，所以,M m k k 满足222()(2)()0EG F LG MF NE LN M λλ---++-=，即,M m k k 是该方程根.由韦达定理，便得22M m LN M k k EG F-=-， 22M m LG MF NEk k EG F -++=- . 显然||0B A λ-=等价于1||0E A B λ--=， 于是,M m k k 是特征方程1||0E A B λ--=的两个根，所以 有1det det()det M m B k k A B A-==，1()M m k k tr A B -+= .于是det det M m B K k k A==，111()()22M mH k k tr A B -=+=， 容易验证这与前面的一致，便于记忆使用和推导使用[110]-.当M m k k ≠时，有T T M m M M m X BX k X AX =，TTM m m M m X BX k X AX =， 由此可得0T M m X AX =，0T M m X BX =， 即两方向,M m X X 垂直、共扼. 设,M m du u X X dv v δδ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则有(,)0E F u du dv F G v δδ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(,)0LM u du dv MN v δδ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 于是0dr r δ⋅=，0dn r δ⋅= ，即,dr r δ 是曲面上垂直、共扼的切方向.上面的推导方法，提供了法曲率最值和最值方向的同时求法，并且法曲率的两最值方向是正交和共轭的.4、曲面的第三基本形式的表示的矩阵证法由上面的引入方法，自然导致了考虑特征多项式[6,10]12||2E A B H K λλλ--=-+零点的问题．对二阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，其征多项式为 2112211221221||()()E A a a a a a a λλλ-=-++-，直接验证，可知A 满足特征矩阵方程2112211221221()()0X a a X a a a a E -++-=，即2()(det )0X trA X A E -+=，其中X 为２阶方阵，E 为２阶单位矩阵．从而可知1A B -满足矩阵方程211(())(det())0X tr A B X A B E ---+=，即220X HX KE -+=，代入得到11120A BA B HA B KE ----+=， 从而有120BA B HB KA --+=， 即得到20C HB KA -+=，写出此矩阵方程的关于,du dv 的二次型，就得到20H K III -II +I = ，（2）5 曲面的第三基本形式的表示式的一些应用推论1[2,5]曲面:(,)r r u v ∑=上一点P 沿一方向():d du dv =上的法曲率n k 为和测地挠率g τ之间满足:2220g n n k Hk K τ+-+= , (3)证明 因为曲面在同一点同一方向的法曲率和测地挠率分别为:2||||n dn dr k dr II -⋅==I，2211()()()()||||g dn dr n dn dr n dn dr n ds ds ds dr τ=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅， 由()//dn dr n ⨯ 及||||1n =，得:222241[||||()]||||g n k dn dr dn dr dr τ+=⨯+⋅ 222421||||[||||||||]||||||||dn dn dr dr dr III ===I，因为I 正定, 由( 2) 式得20H K III II-+=I I，此即2220gn n k Hk K τ+-+=.推论2 [2,5]极小曲面曲面:(,)r r u v ∑= 上一点P 沿一方向():d du dv =上的法曲率n k 为和测地挠率g τ与曲面的Gauss 曲率K 满足: 220gn k K τ++=.推论3[1,2,5] 若曲线为过曲面上一双曲点P 的渐近曲线，且 曲率0k ≠，则曲线在P 点的挠率τ和曲面在P 点的Gauss 曲率K 满足:20K τ+= ， ( 4)证明 由于沿渐近曲线0n k kn βII==⋅=I，利用条件0k ≠，所以曲线的主法向量垂直于曲面的法向量, 于是曲线的副法向量平行于曲面的法向量, 即()()s n s γ=±（s 为曲线的自然参数）.由曲线论的Frenet 公式，得 ()()d s dn s ds dsγτβ-==±, 两边取模的平方，得: 222||||()dn ds τIII==I， 又沿渐近曲线0II = ，由( 2) 式得0K III+=I， 所以有20K τ+= .参考文献：[1]梅向明，黄敬之.微分几何[M].第4版.北京：高等教育出版社出版，2008，87-105.[2]陈维桓.微分几何[M]..北京:北京大学出版社,2006,158-176,229-241. [3] 彭家贵，陈卿.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2002,47-59. [4]马 力. 简明微分几何[M].北京：清华大学出版社, 2004,27-38. [5]傅朝金,何汉林. 曲面的三个基本形式的系数矩阵之间关系的证明及其应用[J]. 海军工程大学学报, 2002 ,24(3):5-7.[6]陈维桓. 曲面的三个基本形式之间的关系是Hamilton-Cayley 定理的推论[ J] . 数学的实践与认识, 1990( 3) : 79-81.[7]宋占奎.曲面的第三基本形式研讨[J].吉林化工学院学报，2006，23（4）：79-82 .[8]杨殿训.高斯映射的基本性质[J].烟台师范学院学报（自然科学版）.1989,5(2):76-81.[9] 华罗庚著，王元校.高等数学引论(第二册)[M].北京: 科学出版社,2009. 284-311[10] 邢家省.法曲率最值的直接求法[J].吉首大学学报（自然科学版）.2012，33（4）：11-15.A proof of the relation among the system matrixes of three fundamental forms of a surfaceXing Jiasheng Wang Yongjun(Department of Mathematics, LMIB of the Ministry ofEducation, Beihang University ,Beijing 100191，China)Abstract:In this paper, we give a direct proof of the relation amongthe system matrixes of three fundamental forms of a surface in 3R.From this results, w e obtain a relation among three fundamental forms of a surface and its some application .Keywords: third fundamental form;normal Curvature of the most value；geodesic torsion。