例２ ⑵ x 4 ⑶x
2
说出下列圆的圆心坐标和半径长：
2
2
⑴ x3
y 1
y2 2
y2 2 4 ;
2
7 ;
答：⑴圆心 (3,2), 半径为2； ⑵圆心 (4, 2 ),半径为 7 ; ⑶圆心 (0,1),半径为4
16.
例３ 求以C 1,3 为圆心，并且和直线 3x 4 y 7 0 相切的圆的方程。 解：∵圆与直线 3x 4 y 7 0 相切， ∴圆心C 1,3 到 3x 4 y 7 0的距离
r
⑴( x0a) ( y 0b)
2
2
r r r
2
，P在圆外， ，P在圆上， ，P在圆内。
⑵( x0a) ( y 0b)
⑶( x0a) ( y 0b)
2
2 2
2
例５ 已知隧道的截面是半径是4m的 半圆，车辆只能在道路的中心线一侧 行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车 能不能驶入这个隧道？
点Ｍ适合的条件可表示为
( xa)
2
( y b)
2
＝r
①
①式两边平方，得 2 2 2 ( y b) r ( xa) ② 方程②就是圆心为C (a ,b ),半径为r 的圆的方程，我 们把它叫做圆的标准方程。 特别的，如果圆心在原点，这时 a 0, b 0，那么 2 2 2 y r 圆的方程是 x 二、圆的标准方程的应用 例1 写出下列各圆的方程： ⑴圆心在原点，半径是３； ⑵圆心在点 C 3,4，半径是 5 ； ⑶经过点 P5,1 ，圆心在点 C 8,3。 2 2 y 9 ⑵( x3)2 ( y 4)2 5 答：⑴ x 2 2 ( y 3) 25 ⑶ ( x8) 点评：⑶中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设 2 2 2 x 8 y 3 r，用待定系数法求解。
x , y 在(xa)2 ( yb)2 r 2 上时，过 M x , y
00 0 0y来自r2；r
2
上时，过 M的切线为
三、课堂练习
练习1 2 3
四、小结 五、作业
习题2.2(1) 1 2 3
7.7 圆的方程
圆的标准方程
什么样的点集叫做圆？ 平面上到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是 圆。定点就是圆心，定长就是半径。 y M 一、建立圆的标准方程 r 求圆心Ｃ（a ,b ），半径是r 的圆的方程。 c 如图（１），设M(x ,y )是圆上任 意一点，根据定义，点Ｍ到圆心Ｃ的 o 距离等于r ，所以圆Ｃ就是集合 x Ｐ＝｛Ｍ｜｜ＭＣ｜＝r ｝ 图⑴
解：①∵11
2

11
2
4 ，∴点 A
在圆上；
②∵ 01 11 1 4，∴点 B在圆内；
2 2
③∵ 01
小结： P
0
2

31
2
，∴点 C 在圆外。 5 4
2 2
( x0 , y ) 与圆( x a) 2 ( y b) 2 2 的关系判断：
经过点M的切线方程是 图⑵ 2 整理，得 x0 x y0 y r 当点Ｍ在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适 用。 思考：是否可以用平面几何的知识求此切线方程。
0 0 0
y y

x y x x
0
小结：⑴ M
x , y 在x
0 0
2

y
2
xx
0
y
0
⑵M
圆的切线方程为 ( x 0 a)( x a) ( y b)( y b) r 2 0
d r 3 1 4 3 7
2
∴圆的方程为 x 1 y 3
2
3

4
2

2
16 5
256 25
例4 已知圆O的方程为 x 1 y 1 ，判断下面的点在 4 圆内、圆上、还是圆外？ A1,1 B0,1 C 0,3
2 2
例6 已知圆的方程是x M x 0 , y 的切线的方程。 0 解：如图⑵，设切线的斜率 k , 半径OM的斜率为 k 1 ，因为圆的 切线垂直于过切点的半径，于是
2
2 2 y r ，求经过圆上一点
y
P(x,y) M(x0,y0) o x
k

1
y ∵k x
1
k
1
0
∴
k
0
x y
0 0