小波变换可定义为：
离散的情况，小波序列为 ：
j,k t 2 j 2 2 j t k
j, k z
恒Q性
CWT计算主要有如下四个步骤： 第一步： 取一个小波， 将其与原始信号的开始一节进行比较。 第二步： 计算数值C， C表示小波与所取一节信号的相似程度，计算 结果取决于所选小波的形状。 第三步：移动小波，重复第一步和第二步，直至覆盖整个信号。 第四步： 伸缩小波， 重复第一步至波分解：选择合适的小波及恰当的分解层次N， 对目标图像进行N层的小波分解；
对分解后的高频系数进行阈值量化：对于分解的每一层， 选择恰当的阈值，对该层高频系数进行阈值量化处理；
重构图像：根据小波分解后的第N层近似的低频系数和经过 阈值量化处理后的细节高频系数，重构图像。
连续小波变换的过程
在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，表示信号的低频 分量，而细节值是小的缩放因子计算的系数，表示信号的高频分量。实际 应用中，信号的低频分量往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作 用。如同一个人的声音一样， 把高频分量去掉后，听起来声音会发生改变， 但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量删除后，就会什么内容也 听不出来了。
软阈值化”和“硬阈值化”是对超过阈值δ的小波系数进行缩减的两种主要方 法,如图1、2 所示。横坐标代表信号原始小波系数,纵坐标代表阈值化后小波系 数。图1 表示的是“软阈值化”,用数学式表示为:
阈值δ的选取
阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值δ。如果阈值(门限) 太小,去噪后的信号仍然有噪声存在;相反,如果太大,重要信号 特征将被滤掉,引起偏差。从直观上,对于给定小波系数,噪声 越大,阈值δ就越大。大多数阈值选择过程是针对一组小波系 数,即根据本组小波系数的统计特性,计算出一个阈值δ。
目录
一、小波变换基础及几种基本常用小波介绍 二、多分辨分析 三、小波变换的信号奇异性检测及去噪
什么是小波变换
像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的
一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移
的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。 小波作为20世纪80年代末期出现的一种时频分析工具，不论是对数学还是工程应用都
傅里叶变换的不足
傅里叶分析理论对于有限平稳的周期信号比较有效，而对于非平稳信号 的分析效果不够好。主要原因有： 1、三角基函数在时域上不能局部化，无法实现时域上的局部分析。
由于信号的傅里叶变换代表的是该信号在某个频率ω的谐波分量的振
幅，它是由整个信号的形态所决定的，因此无法从傅里叶变换值确定 该信号在任一时间上的相关信息。
3、傅里叶变换不能同时进行时域和频域的分析。这是因为信号经过傅里叶变换后，它的 时间特性消失，只能进行频域信息分析。
与 Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分 析，它通过伸缩平移运算对信号（函数)逐步进行多尺度细 化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适 应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解 决了Fourier变换的困难问题。
小波转换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波 转换 (CWT)。
什么是小波
…
…
(a)
(b)
（a） 正弦波曲线；
(b) 小波曲线
正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的， 而小波
是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0， 小波趋于不规则、 不对称。
基本小波函数ψ(t)的缩放和平移操作含义如下：
2、三角函数基作为具有一定周期和波形的光滑函数，对于存在间断点的信号进行近似时 会产生Gibbs现象，因此对于一般的非周期的非平稳信号，三角基近似不是最优选择。
吉布斯现象（Gibbs）：将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展 开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠 近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳 变值的9%。这种现象称为吉布斯现象。
信号的奇异性表征与小波变换
奇异性检测与小波变换的模极大值
分析奇异信号时小波基的选择
实例分析
小波去噪
小波变换在图像去噪上的应用思路主要采用人们所熟知的将 空间或时间域上的含噪图像信号(数据)变换到小波域上, 成为 多层的小波系数, 根据小波基的特性, 分析小波系数特点, 结 合常规的图像去噪方法或提出更符合小波变换的新方法来处 理小波系数, 再对处理后的小波系数进行反变换(逆变换) , 得 到去噪后的图像。
产生了深远影响。短短十几年间，它在很多领域都得到广泛应用和发展，如：信号处 理、图像处理、理论数学、模式识别、分形等。尤其值得一提的是小波理论在图像处 理领域的发展，如图像去噪、图像压缩等，其中所取得的成就数不胜数。 理论上讲，凡是使用Fourier分析的地方，都可能用小波分析来代替，它被认为是近年 来工具及方法上的重大突破，被誉为“数学显微镜”。
Morlet小波 时频域波形
Marr小波时频域波形
小波变换的多分辨分析特性
多分辨分析是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示 为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能 提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。
可分离滤波器首先应用于某一维(如垂直向)，再应用于另一
(t)
O
(t－k )
t
O
t
(a)
(b)
(a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
连续小波变换的定义
设 t L2 ，R当 满(足)允许条件时：
() 2
c
d
称 (为t)一个“基小波”或“母小波”。
小波变换的含义是：
把分基 析本信小号波 作内(母积小，波就)的可函以数得到一作个位小移(波t后)序，列再。在不同尺度下与待
(1) 缩放。简单地讲， 缩放就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小 波越窄，如图所示。
f (t) O
f (t) O
f (t) O
f (t)＝ (t)； scale＝ 1
t
f (t)＝ (2t)； scale＝ 0.5
t
t
小波的缩放操作
f (t)＝ (4t)； scale＝ 0.2 5
(2) 平移。简单地讲，平移就是小波的延迟或超前。在数学上， 函数f(t)延迟k 的表达式为f(t-k)，如图所示。
维(如水平向)，滤波后的输出结果包括
，，
和 表示，分别称为近似值、垂直细节、水平细节和图像的
对角线细节子带。
小波变换的信号奇异性检测及去噪
奇异信号也称为突变信号。信号中的奇异点及不规则的突变部分 经常携带有比较重要的信息, 它是信号重要的特征之一 。长期 以来, 傅里叶变换是研究函数奇异性的主要工具, 其方法是研究 函数在傅氏变换域的衰减速度以推断此函数是否具有奇异性及奇 异性大小。但是, 由于傅里叶变换缺乏空间局部性, 它只能确定 一个函数奇异性的整体性质, 而难以确定奇异点在空间的位置及 分布情况。我们知道, 小波变换具有空间局部化性质。随着小波 理论的发展,小波分析也被用于奇异信号检测。小波分析因在时 域和频域上同时具有良好的局部化性质, 能同时获得时域和频域 的信息, 是一种较好的奇异信号检测方法。
阈值化
在小波域上,噪声的能量分布在所有的小波系数上,而信号的能量分布 在一小部分的小波系数上,所以把小波系数分成两类:第一类是重要的、 规则的小波系数;第二类是非重要的或者受噪声干扰较大的小波系数。 给定一个阈值δ,所有绝对值小于某个阈值δ的小波系数被看成“噪 声”,它们的值用零代替;而超过阈值的小波系数的数值用阈值δ缩减后 再重新取值。根据信号小波分界的这个特点,对信号的小波系数设置一 个阈值,大于它的认为属于第二类系数,可以简单保留或进行后续操作; 而小于阈值的则去掉。这样达到了降低噪声的目的,同时保留了大部分 信号的小波系数,因此可以较好的保持信号细节。