8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864
b 1
东 南 大 学 考 试 卷（B 卷）
课程名称 线性代数 考试学期 07-08-3 得分
适用专业 非电类工科专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟
8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864
b 2
一．填空题（E 表示单位矩阵）
1． 设12102,21111A B ⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，则AB = ；
2． 若矩阵435x A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
不可逆，则x 满足条件 ；
3． 若矩阵A 满足232A A E O -+=，则1A -= ；
4． 若33⨯矩阵A 的特征值是1,2,1-，则矩阵123A A E -++的行列式
123A A E -++= ；
5． 若矩阵12321045A x ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的秩为2，则参数x 满足条件 ；
6． 假设A 是n s ⨯矩阵，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含t 个解，则齐次线性
方程组0T A y =的基础解系中向量的个数为 ；
7． 若1a α⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵
120b A -⎛⎫= ⎪⎝⎭的相应于特征值１的特征向量，则a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛
⎫ ⎪⎝⎭
；
8． 若二次型22
121212(,)2f x x x x tx x =++是正定的，则参数t 满足条件 ；
9． 如果每个三维行向量都可以由()()()1,2,1,0,1,2,2,3,x -线性表示，则参数x 满足
条件 ；
10． 若矩阵122a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与矩阵0
053⎛⎫ ⎪⎝⎭
相似，则参数a = 。

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b 3 青山埋白骨，绿水吊忠魂。

8%）计算行列式123
4
111
111
111111x x D x x =，其中1234,,,x x x x 均不等于1。

8%）假设1101000,1,210,11101T
P A P P αβαβ-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求2008A 。

四． （16%）已知矩阵3221
423A k k -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭。

1. 求A 的特征值多项式。

2. 如果A 相似于对角阵，求参数k 的值；
3. 若A 相似于对角阵，求可逆矩阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ；
4. 是否存在正交阵Q 使得T Q AQ 是对角阵？为什么？
14%）假设,a b 是实数，二次型
2
22
1231231323(,,)22f x x x x x x ax x bx x =++++
1． 求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ；
2． 求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形；
3． 问：当参数,a b 满足什么条件时，f 是正定的。

16%）设向量组1231111,3,114a ββ
β⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12100,1b c αα⎛⎫⎛
⎫
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

1. 如果向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示，求参数a 的值，求向量组123
,,βββ的秩及其一个极大线性无关组；
2. 如果12
3,,βββ与12,αα等价，求参数,,a b c 的值，并将123,,βββ中的每个向量
表示成12,αα的线性组合。

8%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）：
1． 设,A B 分别是n s ⨯、s n ⨯矩阵。

若n s >，证明：齐次线性方程组0ABx =必有
非零解。

2． 假设n 维列向量α的长度1α<，证明：矩阵T A E αα=-是正定的。