0 0 u 1 0 v 0 0 p U , A 0 0 R 0 0 S 0 0 T 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 , B 0 0 0 1 0 Re 0 1 0 0 Re 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Re 1 0 Re 0 0
0 0 1
特征方程
Ax B y 0
y 0 0 x y 0
Ax B y 0 0 0 0 0 x
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 y
x y x
Re Re Re
x y
0 Re
0
0 0 y
x
y
即：
y (x y ) 0
方程对定解条件的要求
• 平衡问题（椭圆型方程）：必须提封闭边界上每 一点的边界条件，要特别小心“无穷远边界”上 的条件
• 行进问题（抛物型、双曲型方程）：必须提初始 条件（二阶偏微分方程需要有函数值、一阶导数 值条件）； 空间无界定义域问题，有的可以不 提无界边界上的条件，但有界定义域问题，一般 需要规定一定的边界条件。
2．多个自变量的二阶偏微分方程 特征分类法
• 方程：
2u a jk H 0 x j xk j 1 k 1
N N
方程主部
• 主部系数矩阵 A • 寻找A的特征值：
A I 0
分类方法
(i) A 的特征值λ中的任意一个为零，则方程为抛物 型； (ii) A 的特征值λ全部非零并且同号，则方程为椭圆 型； (iii) A 的特征值λ全部非零, 并且除了一个之外其余同 号，则方程为双曲型。
• 直接规定边界上的函数值（可以随时间或 类时间变化）
T ( x, y, z, t )
w
Tw (t )
第二类边界条件 （Neumann）
• 直接规定在边界上的函数导数值
• 热物理问题一般规定：热流值 在流入边界 内部方向时为正
T ( x, y , z , t ) n
w
qw (t )
比较特征分类法：
y (x y ) 0
2 2 2
Fourier 分析法与特征分析法
• Fourier 分析法与特征分析法殊途同归，可 以得到一样的结论 • Fourier 分析法相对简单，适用面广 • Fourier 分析法在分析比较复杂的问题时更 有优势
2.2.3 解的适定和定解条件
• 矢量形式：
A
U U B E x y
特征方程
Ady Bdx 0
即：
dy A B 0 dx
求出特征值：
dy / dx
分类方法
(1) 特征值λ为两个互异的实根，则方程组为 双曲型 (2) 特征值λ为一个实根，则方程组为抛物型 (3) 特征值λ为两个共轭复根,则方程组为椭圆 型
变换
Fourier转换乘因子 或
时空域
2u 2u 2u a 2 b c 2 0 x xy y
频率域
2 2 a x b x y c y 0
微 b x y c 0
2 x 2 y
a( x y )2 b( x y ) c 0
2 2 2
y 为虚数：方程组相对 y 方向为椭圆型 取 x 1 ， x 为虚数：方程组相对 x 方向为椭圆型 取 y 1 ，
4. 偏微分方程分类的 Fourier 分析方法
又称为偏微分方程的符号(Symbol)
可适用于单个方程、方程组；可适用于高阶导 数情况；并且不需要引入中间变量
3．偏微分方程组的特征分类 方法
(1) 两个自变量的一阶方程组
• 两个函数的最简单情况：
u v u v a11 a12 b11 b12 e1 x x y y
u v u v a21 a22 b21 b22 e2 x x y y
a11 a12 b11 b12 e1 u U , A , B , E b b e v a21 a22 21 22 2
第三类边界条件 (Robin)
• 规定边界上的函数值与它的法向导数之间 的某个关系 • 冷却问题
T ( x, y , z, t ) n

w
h T f Tw (t )
从物理意义方面区分
1. 运动学条件 2. 动力学条件 3. 热力学条件
1 运动学条件 (Kinetic)
• 滑移边界条件：无粘流体沿固壁切向速度 不变 • 黏附条件：粘性流体在固壁上满足静止壁 上流体速度为零
• 特征方程：
Ax B y C z 0
• 考察法向方向数： 固定 1 ，若 y 全复根，则方程组相对 y 方向是椭圆型
x z
(3) 含有部分二阶以上导数的 偏微分方程组
实际问题基本上都含有二阶以上导数 一般做法：引入中间变量函数，化为包含有更多 函数的一阶偏微分方程组，然后进行分类。特别 注意：一阶方程组的系数矩阵不能等同以致使方 程组奇异。
6个函数 u、v、p、R、S、T
R vx , S vy , T uy
ux v y 0
1 ( u xx u yy ) 0 Re 1 uv x vv y p y ( v xx v yy ) 0 Re uux vu y p x
矩阵形式
U U A B H x y
n个函数两个自变量一阶方程组
(1) 特征值为n个互异实根，则方程组为双曲型
(2) 特征值有m个互异实根，无复根，且 1 m n 1 则方程组为抛物型 (3) 特征值无实根,则方程组为椭圆型 (4) 特征值一部分为实根，一部分为复根，则方程组 为混合型
(2) 多个自变量的一阶方程组
a. 包含时、空自变量的一阶方程组 b. 只有空间自变量的一阶方程组
-
u( x, y) exp(-i



x
x) exp( i y y )dxdy
• Fourier 转换： • 微分特性：
u Fu

微分关系
Fourier
函数每对 x 或 y 做一次偏导数
变换
Fourier转换乘因子 或
时空域
频率域
利用微分关系改写方程
Fourier
函数每对 x 或 y 做一次偏导数
意 义
• 物理过程 = 控制方程 + 定解条件
• 定解条件关系到具体方程是否有解，其解 是否可靠 • 定解条件：边界条件、初始条件 • 偏微分方程的适定性：
指定解条件能使方程 解存在、解唯一、解稳定（即解连 续地依赖它的初始或边界条件）
例2.5 给定边界条件下的 二维 Laplace 方程
u xx u yy 0 - x y 0 u ( x,0) 0 1 u y ( x,0) sin( nx ) n0 n
求解过程
分离变量：
u ( x, y ) f ( x ) g ( y )
利用定解条件：
1 u 2 sin( nx ) sh( ny ) n
此解在 y=0 附近有可能不连续：
n
y 接近 0 处
u
u( x,0) 0
原因分析
• 此方程分类？
椭圆型！！！
椭圆型方程要求提封闭边界上所有点的条件， 尤其是无穷远处的边界条件！
Fourier变换
Fourier 时空域
变换
频率域
• 主要应用了Fourier变换的微分关系
a. 单个方程的情况
2u 2u 2u a 2 b c 2 0 x xy y
Fourier级数表达的解：
u ( x, y ) 1 4
2 j k
u



ix i y 2 i( u x v y 1 ( x2 y ) 0 Re 1 2 2 0 i(u x v y (x y ) Re
0 u ix v 0 p i y
jk
exp[i( x ) j x ]exp[i( y ) k y ]
极限情况下用Fourier积分表达：
u ( x, y ) 1 4
2 -
u(



x
, y ) exp(i x x) exp(i y y )d x d y
Fourier 转换
• 系数：
u( x , y )
例2.4 二维稳态不可压Navier-Stokes方程
连续方程 动量方程
ux v y 0
1 uux vu y px ( uxx u yy ) 0 Re 1 uv x vv y p y ( v xx v yy ) 0 Re
• 引入中间变量
R vx , S vy , T uy
2.2.2 偏微分方程的数学分类
胡茂彬
/~humaobin/ humaobin@
内容提要
1. 两个自变量的二阶偏微分方程 2．多个自变量的二阶偏微分方程特征分类法 3．偏微分方程组的特征分类方法 (1) 两个自变量的一阶方程组 (2) 多个自变量的一阶方程组 i. 包含时间、空间自变量的一阶方程组 ii. 只有空间自变量的一阶方程组 (3) 含有部分二阶以上导数的偏微分方程组 4. 偏微分方程分类的Fourier分析方法 (Symbol)
方程组存在非平凡解的条件 是 系数矩阵行列式为零
2 2 2 2 i( u v ) ( x y x y x y ) / Re 0